Question

【題目】過山車是游樂場中常見的設施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑、。一個質量為kg的小球（視為質點），從軌道的左側A點以的初速度沿軌道向右運動，A、B間距m。小球與水平軌道間的動摩擦因數，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊，如果小球恰能通過第二圓形軌道。如果要使小球不能脫離軌道，試求在第三個圓形軌道的設計中，半徑應滿足的條件。（重力加速度取，計算結果保留小數點后一位數字。）

Answer 1

【答案】或

【解析】

設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v2，由題意

①

②

由①②得 ③

要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：

I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v3，應滿足

④

⑤

由④⑤得 ⑥

II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R3，根據動能定理

⑦

解得 ⑧

為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應滿足

⑨

解得：R3=27.9m ⑩

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或 ⑾