Question

【題目】如圖所示，在水平軌道右側(cè)固定半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段長(zhǎng)度為，上面鋪設(shè)特殊材料，小物塊與其動(dòng)摩擦因數(shù)為，軌道其它部分摩擦不計(jì)。水平軌道左側(cè)有一輕質(zhì)彈簧左端固定，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)。可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的小物塊從軌道右側(cè)A點(diǎn)以初速度沖上軌道，通過圓形軌道，水平軌道后壓縮彈簧，并被彈簧以原速率彈回，取，求：

（1）彈簧獲得的最大彈性勢(shì)能；

（2）小物塊被彈簧第一次彈回經(jīng)過圓軌道最低點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能；

（3）當(dāng)R滿足什么條件時(shí)，小物塊被彈簧第一次彈回圓軌道時(shí)能沿軌道運(yùn)動(dòng)而不會(huì)脫離軌道。

Answer 1

【答案】（1）10.5J（2）3J（3）0.3m≤R≤0.42m或0≤R≤0.12m

【解析】

（1）當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，其彈性勢(shì)能最大。從A到壓縮彈簧至最短的過程中，由動(dòng)能定理得： μmgl+W彈＝0mv02
由功能關(guān)系：W彈=-△Ep=-Ep
解得 Ep=10.5J；
（2）小物塊從開始運(yùn)動(dòng)到第一次被彈回圓形軌道最低點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得
2μmgl＝Ekmv02
解得 Ek=3J；
（3）小物塊第一次返回后進(jìn)入圓形軌道的運(yùn)動(dòng)，有以下兩種情況：
①小球能夠繞圓軌道做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)設(shè)小球最高點(diǎn)速度為v2，由動(dòng)能定理得
2mgR＝mv22Ek
小物塊能夠經(jīng)過最高點(diǎn)的條件m≥mg，解得 R≤0.12m
②小物塊不能夠繞圓軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，為了不讓其脫離軌道，小物塊至多只能到達(dá)與圓心等高的位置，即mv12≤mgR，解得R≥0.3m；
設(shè)第一次自A點(diǎn)經(jīng)過圓形軌道最高點(diǎn)時(shí)，速度為v1，由動(dòng)能定理得：

2mgR＝mv12-mv02

且需要滿足 m≥mg，解得R≤0.72m，
綜合以上考慮，R需要滿足的條件為：0.3m≤R≤0.42m或0≤R≤0.12m。