Question

（2008?佛山一模）如圖所示，在光滑水平地面上，靜放著一質量m₁=0.2kg的絕緣平板小車，小車的右邊處在以PQ為界的勻強電場中，電場強度E₁=1×10⁴V/m，小車上A點正處于電場的邊界．質量m₂=0.1kg、帶電量q=6×10^-5C的帶正電小物塊（可視為質點）置于A點，其與小車間的動摩擦因數μ=0.40（且最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等）．現給小物塊一個v₀=6m/s向右的初速度．當小車速度減為零時，電場強度突然增強至E2=2×104V/m，而后保持此值不變．若小物塊不從小車上滑落，取g=10m/s²．試解答下列問題：
（1）小物塊最遠能向右走多遠？
（2）小車、小物塊的最終速度分別是多少？
（3）車的長度應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）先分析小物塊與小車的運動情況：小物塊水平方向受向左的電場力與滑動摩擦力做減速運動，而小車受摩擦力向右做勻加速運動，當速度相等后，受力情況發生了變化，兩者可能相對靜止，也可能相對滑動．根據牛頓第二定律分別求出兩者的加速度，由速度公式列式，求出相等的速度，再由牛頓第二定律分析速度相等后能否相對靜止．運用運動學公式分段求出小物塊運動的距離．即得到向右運動的總路程．
（2）先牛頓第二定律和運動學公式結合，求出物塊沖出電場時，兩者的速度大小，若不從小車上滑落，兩者最終會達至共同速度，根據動量守恒求出共同速度．
（3）根據能量守恒求車的長度．

解答：解：（1）小物塊水平方向受向左的電場力與滑動摩擦力做減速運動，而小車受摩擦力向右做勻加速運動．
設小車與小物塊的加速度分別為a₁、a₂，由牛頓定律得：
對小物塊 qE₁+μm₂g=m₂a₂

 a2=

qE1+μm2g

m2

=

6×10-5×1×104+0.4×0.1×10

0.1

m/s2=10m/s2
對于小車μm₂g=m₁a₁
 a1=

μm2g

m1

=

0.4×0.1×10

0.2

m/s2=2m/s2
設經t₁秒兩者速度相同，則由v_t=v₀-at得：
對小物塊有：v_t=6-10t₁
對小車有：v'_t=2t₁
由以上二式得：6-10t₁=2t₁
解得：t₁=0.5（s），共同速度為：1m/s．
當兩者達到共同速度后，受力情況發生了變化，其水平方向的受力如圖所示：



若設兩物體時只受電場力作用下一起做減速運動時其加速度為a₃，
則由牛頓第二定律得：F=（m₁+m₂）a₃
 a3=

qE1

m1+m2

=

6×10-5×1×104

0.1+0.2

m/s2=2m/s2
設兩者間摩擦力達最大靜摩擦，設小車及小物塊做減速運動的加速度分別為a₄、a₅，則：
 a4=

μm2g

m1

=

0.4×0.1×10

0.2

m/s2=2m/s2
 a5=

qE2-μm2g

m2

=

6×10-5×104-0.4×0.1×10

0.1

m/s2=2m/s2
由于a₃=a₄=a₅，故兩者不會相對滑動，而是以2m/s²的共同加速度做減速運動，直至共同速度減為零
小物塊第一段運動的位移 s1=

v 2 t - v 2 0

2a1

=

62-12

2×10

m=1.75m
第二段運動的位移 s2=

v 2 共

2a共

=

12

2×2

m=0.25m
故小物塊向右運動最遠的位移s=1.75m+0.25m=2m
（2）當小物塊及小車的速度減為零后，其受力如圖，由牛頓第二定律得：

小物塊的加速度 a5=

qE2-μm2g

m2

=

6×10-5×2×104-0.4×0.1×10

0.1

m/s2=8m/s2
此時小車的加速度 a6=

μm2g

m1

=

0.4×0.1×10

0.2

m/s2=2m/s2
設小物塊經t₂秒沖出電場，此時小物塊及小車速度分別為v₃與v₄．則：
對小物塊∵s=

1

2

a5

t

2 2

∴t2=

2s a5

=

2×2 8

s=

2

2

s
對小物塊 v3=a5t2=8×

2

2

m/s=4

2

m/s
對小車 v4=a6t2=2×

2

2

m/s=

2

m/s
當小物塊沖出電場后，若不從小車上滑落，兩者最終會達至共同速度，設此速度為v₅．
由系統動量守恒得：m₂v₃+m₁v₄=（m₁+m₂）v₅
 v5=

m2v3+m1v4

m1+m2

=

0.1×4 2 +0.2× 2

0.2+0.1

m/s=2

2

m/s
（3）設小車長為L，由系統能量守恒得：
 qE2s-μm2gL=

1

2

(m1+m2)

v

2 5

=6×10-5×2×104×2-0.4×0.1×10×L=

1

2

(0.2+0.1)(2

2

)2
解得：L=3m
解法二：設小車向左運動直至與小物塊達到共同速度前的總位移為s₄，由于小車向左加速的加速度也始終為2m/s²，最終速度為2

2

m/s，故：s4=

v2

2a

=

(2 2 )2

2×2

m=2m
設小物塊出電場后向左運動，直至與小車達到共同速度前的位移為s₆，設此過程中的加速度為a₇．則：a7=

μm2g

m2

=μg=0.4×10m/s2=4m/s2s6=

v 2 5 - v 2 3

-2a7

=

(2 2 )2-(4 2 )2

-2×4

m=

32-8

8

m=3m
因小物塊向左加速運動2m后才沖出電場，故小物塊向左運動的總位移s₇為s₇=s₆+2=3+2=5（m）
由此可知小物塊相對小車運動的位移為s₇-s₄=5m-2m=3m
即小車長度至少為3m
答：
（1）小物塊最遠能向右走2m．
（2）小車、小物塊的最終速度分別是

2

m/s，4

2

m/s．
（3）車的長度應為3m．

點評：本題是考查牛頓運動定律、電場力、勻變速運動規律、動量守恒定律知識，考查考生對物理過程的綜合分析能力、應用數學處理物理問題的能力．