Question

（2008?福州模擬）為了研究月球的起源，歐洲宇航局發射了“SMART-1”號月球探測器對月球表面的土壤成份進行了探測．
（1）探測器的最后一項任務，就是自己去撞擊月球，從而獲取月球表面土壤的信息．2006年9月3日“SMART-1”號月球探測器撞擊了月球．在撞擊之前，探測器進入了一個橢圓軌道，假設近月點離月球表面的高度為h₁，遠月點離月球表面的高度為h₂，月球半徑為R_月，月球表面的重力加速度為g_月．計算探測器從近月點運行到遠月點過程中所用的時間．（提示：該探測器運行軌道的近月點h₁與遠月點h₂的差值很小，其橢圓軌道的周期可用等效圓的周期處理，該等效圓的半徑等于橢圓的半長軸）
（2）“SMART-1”號是世界上第一個采用“太陽能離子發動機”作為主要推進系統的探測器，這個探測器是利用電場加速帶電離子（它是由電子撞擊中性原子氙產生的），形成高速離子流，從而對探測器產生的反沖力．若離子的比荷k=7.5×10⁴C/kg，離子被高速噴出的速度為v=3×10⁵m/s，形成的等效電流I=0.65A，則“太陽能離子發動機”的功率有多大？

Answer 1

分析：（1）根據萬有引力提供向心力、萬有引力等于重力求出探測器做圓周運動的周期．探測器從近月點運行到遠月點過程中所用的時間等于周期的一半．
（2）結合電流的定義式和比荷求出噴出粒子的質量，結合動能定理求出“太陽能離子發動機”的功率．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力得，G

m月?m

r2

=m(

2π

T

)2?r①
r=

h1+h2+2R月

2

②
根據萬有引力等于重力得，G

m月?m

R 2 月

=mg月③
聯合①②③得T=

π2(h1+h2+2R月)3 2g月R   2 月

由題意t=

1

2

T=π

(h1+h2+2R月)3 8g月R   2 月

（2）設在△t→0時間內，噴出的離子質量為△m，電荷量為△q
據動能定理，有P?△t=△Ek=

1

2

△m?v2④
又k=

△q

△m

⑤
△q=I?△t⑥
聯立④⑤⑥得P=

I

2k

v2=

0.65

2×7.5×104

×(3×105)2=3.9×105W．
答：（1）探測器從近月點運行到遠月點過程中所用的時間為π

(h1+h2+2R月)3 8g月R   2 月

．
（2）“太陽能離子發動機”的功率為3.9×10⁵W．

點評：對于第（1）問，關鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用．對于第（2）問，關鍵構建正確的物理模型，運用動能定理解決．