Question

2014年12月14日，北京飛行控制中心傳來好消息，嫦娥三號探測器平穩落月．嫦娥三號接近月球表面過程可簡化為三個階段：
一、距離月球表面一定的高度以v=1.7km/s的速度環繞運行，此時，打開七千五百牛頓變推力發動機減速，下降到距月球表面H=100米高處時懸停，尋找合適落月點；
二、找到落月點后繼續下降，距月球表面h=4m時速度再次減為0；
三、此后，關閉所有發動機，使它做自由落體運動落到月球表面．已知嫦娥三號著陸時的質量為1200kg，月球表面重力加速度g'為1.6m/s²，月球半徑為R，引力常量G，（計算保留2位有效數字）求：
（1）月球的質量（用g'、R、G字母表示）
（2）從懸停在100米處到落至月球表面，發動機對嫦娥三號做的功？
（3）從v=1.7km/s到懸停，若用10分鐘時間，設軌跡為直線，則減速過程的平均加速度為多大？若減速接近懸停點的最后一段，以平均加速度在垂直月面的方向下落，求此時發動機的平均推力為多大？

Answer 1

（1）根據在星體表面重力等于萬有引力知mg′=

GM

R2

m，
解得M=

g′R2

G

；
（2）由100m下降過程中到4m前發動機會做功，取100m和4m為初末狀態，前后動能沒變，
根據動能定理列式mg′（H-h）+W=0
所以：W=-mg′（H-h）=-1200×1.6×96J=-1.8×10⁵J
即發動機做功為-1.8×10⁵J；
（3）由加速度定義知a=

v

t

=2.8m/s²
由牛頓第二定律知F=m（a+g'）=5300N
答：（1）月球的質量M=

g′R2

G

（2）從懸停在100米處到落至月球表面，發動機對嫦娥三號做的功-1.8×10⁵J
（3）從v=1.7km/s到懸停，若用10分鐘時間，設軌跡為直線，則減速過程的平均加速度為2.8m/s²，若減速接近懸停點的最后一段，以平均加速度在垂直月面的方向下落，此時發動機的平均推力5300N．