Question

假設火星探測器距火星表面的高度為h，繞火星做勻速圓周運動的周期為T，火星的半徑為R，引力常量為G，忽略其他天體對探測器的引力作用，試求：
（1）探測器線速度的大小；
（2）火星的平均密度；
（3）火星的第一宇宙速度．

Answer 1

（1）探測器繞地球做勻速圓周運動，根據線速度和周期的關系得
探測器線速度的大小為v=

2π(h+R)

T

．
（2）設火星的質量為M，平均密度為ρ，探測器的質量為m，火星對探測器的萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力，有
G

Mm

(h+R)2

=m

4π2

T2

（h+R）
解得：M=

4π2(h+R)3

GT2

火星的平均密度
ρ=

M

V

=

4π2(h+R)3 GT2

4 3 πR3

=

3π(h+R)3

GT2R3

．
（3）設火星的第一宇宙速度為v₁，則
G

Mm

R2

=m

v12

R

得v₁=

GM R

把M的值代入，解得v₁=

4π2(h+R)3 RT2

=

2π(R+h)

T

R+h R

．
答：（1）探測器線速度的大小為

2π(h+R)

T

；
（2）火星的平均密度為

3π(h+R)3

GT2R3

；
（3）火星的第一宇宙速度為

2π(R+h)

T

R+h R

．