Question

如圖所示，位于豎直平面內的坐標系xoy，在其第三象限空間有沿水平方向的、垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B=0.5T，還有沿x軸負方向的勻強電場，場強大小為E=

2N

C

．在其第一象限空間有沿y軸負方向的、場強大小也為E的勻強電場，并在y＞h=0.4m的區域有磁感應強度也為B的垂直于紙面向里的勻強磁場．一個帶電荷量為q的油滴從圖中第三象限的P點得到一初速度，恰好能沿PO作勻速直線運動（PO與x軸負方向的夾角為θ=45°），并從原點O進入第一象限．已知重力加速度g=10m/s²，問：
（1）油滴在第一象限運動時受到的重力、電場力、洛倫茲力三力的大小之比；
（2）油滴在P點得到的初速度大小；
（3）油滴在第一象限運動的時間以及油滴離開第一象限處的坐標值．

Answer 1

分析：（1）油滴在復合場中做直線運動，垂直速度方向的合力一定為零，受力分析如圖所示：如果油滴帶負電，受力分析如（1）所示，帶正電，受力分析如（2）所示．

因為要保證垂直速度方向合力為零，（2）中油滴一定做減速運動，這時洛侖茲力在變化，導致垂直速度方向的力發生變化，油滴不可能做直線運動，即油滴不僅垂直速度方向合力為零，沿速度方向合力也為零，則只能是（1）圖，所以油滴一定帶負電．
（2）根據第一問結果，運用洛倫茲力公式求解；
（3）粒子進入第一象限時，重力和電場力平衡，故粒子現做勻速直線運動，再做勻速圓周運動，最后做勻速直線運動，根據幾何關系和洛倫茲力提供向心力計算總時間并確定離開第一象限的位置．

解答：解：（1）油滴帶負電荷，設油滴質量為m，受力如圖

由平衡條件結合幾何關系得到：
mg：qE：f=1：1：

2

（2）根據洛倫茲力公式，有
f=qvB
故
mg：qE：qvB=1：1：

2

故
v=

2 E

B

=4

2

m/s
（3）進入第一象限，電場力和重力相等，知油滴先做勻速直線運動，進入y≥h的區域后做勻速圓周運動，路徑如圖，最后從x軸上的N點離開第一象限．
由O到A勻速運動位移為S₁=

h

sin45°

=

2

h知運動時間：tt1=

S1

v

=

2 h

2E B

=

Bh

E

=0.1s
由幾何關系和圓周運動的周期關系T=

2πm

qB

知由A→C的圓周運動時間為t2=

1

4

T=

πm

2qB

，由對稱性知從C→N的時間t₁=t₃
在第一象限運動的總時間 t=t1+t2+t3=

2Bh

E

+

πE

2qB

=0.82s
由在磁場中的勻速圓周運動，有　qvB=m

v2

R

，解得軌道半徑R=

mv

qB

=

2 E2

qB2

圖中的ON=2（S₁cos45°+Rcos45°）=2(h+

E2

qB2

)=4.0m
即油滴在第一象限運動的時間為0.82s，離開第一象限處（N點）的坐標為（4.0m，0）．

點評：本題關鍵是先確定物體的運動情況，并畫出運動軌跡，然后逐段逐段分析，勻速運動階段受力平衡，勻速圓周運動階段洛倫茲力提供向心力．