Question

圖（a）所示的裝置中，小物塊A、B質量均為m，水平面上PQ段長為l，與物塊間的動摩擦因數為μ，其余段光滑。初始時，擋板上的輕質彈簧處于原長；長為r的連桿位于圖中虛線位置；A緊靠滑桿（A、B間距大于2r）。隨后，連桿以角速度ω勻速轉動，帶動滑桿作水平運動，滑桿的速度-時間圖像如圖（b）所示。A在滑桿推動下運動，并在脫離滑桿后與靜止的B發生完全非彈性碰撞。
（1）求A脫離滑桿時的速度u_o，及A與B碰撞過程的機械能損失ΔE。
（2）如果AB不能與彈簧相碰，設AB從P點到運動停止所用的時間為t₁，求ω得取值范圍，及t₁與ω的關系式。
（3）如果AB能與彈簧相碰，但不能返回道P點左側，設每次壓縮彈簧過程中彈簧的最大彈性勢能為E_p，求ω的取值范圍，及E_p與ω的關系式（彈簧始終在彈性限度內）。

Answer 1

解：(1)設連桿的水平位移為x，取水平向右的方向為正則：
求導得：，符合圖像b
當x=0時，A與連桿分離，此時：，，V₀= ①
AB相碰由動量守恒得：mv₀=2mv ②
AB系統機械能損失△E= ③
由①②③得：， ④
(2)AB在pq上做勻減速直線運動，加速度為：
由運動學規律公式得AB開始到停止的位移： ⑤
s≤1  ⑥
0=v+at₁ ⑦
由④⑤⑥⑦得：， ⑧
(3)AB從p開始到彈簧壓縮到最短時過程由能量守恒得：
可得到：
設AB返回時剛好到達P點時速度為0，則此時角速度最大全過程由能量守恒得：
解得：
綜合⑧得到角速度的范圍為：