Question

宇宙中兩個相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，而不致因萬有引力的作用吸引到一起．設二者質量分別為m₁和m₂，二者相距L，萬有引力常數為G，
（1）試證明它們的軌道半徑之比、線速度之比都與它們的質量成反比；
（2）試寫出它們的角速度的表達式．

Answer 1

分析：“雙星”圍繞它們連線上的同一點為圓心做勻速圓周運動，運動過程中兩者的周期、角速度相同，由對方的萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律分別對兩星進行列方程求解．

解答：解：（1）根據萬有引力提供向心力得：

Gm1m2

L2

=m1R1ω2

Gm1m2

L2

=m2R2ω2
得

R1

R2

=

m2

m1

又∵v=ωR
∴

v1

v2

=

m2

m1

（2）由

Gm1m2

L2

=m1R1ω2和

Gm1m2

L2

=m2R2ω2
且R₁+R₂=L
得ω=

G(m1+m2) L3

答：（1）它們的軌道半徑之比、線速度之比都與它們的質量成反比，證明如上；
（2）它們的角速度的表達式是ω=

G(m1+m2) L3

．

點評：“雙星”是萬有引力部分常見的題型，關鍵抓住“雙星”的條件：角速度相同、周期相同，采用隔離法由牛頓第二定律研究．