Question

【題目】如圖所示，在傾角為30°的光滑斜面上放置一質量為m的物塊B，B的下端連接一輕質彈簧，彈簧下端與擋板相連接，B平衡時，彈簧的壓縮量為x0 ， O點為彈簧的原長位置．在斜面頂端另有一質量也為m的物塊A，距物塊B為3x0 ， 現讓A從靜止開始沿斜面下滑，A與B相碰后立即一起沿斜面向下運動，但不粘連，它們到達最低點后又一道向上運動，并恰好回到O點（A、B均視為質點）．試求：

（1）A、B相碰后瞬間的共同速度的大小；
（2）A、B相碰前彈簧具有的彈性勢能；
（3）若在斜面頂端再連接一光滑的半徑R=x0的半圓軌道PQ，圓軌道與斜面相切于最高點P，現讓物塊A以初速度v從P點沿斜面下滑，與B碰后返回到P點還具有向上的速度，試問：v為多大時物塊A恰能通過圓弧軌道的最高點？

Answer 1

【答案】
（1）解：A與B球碰撞前后，A球的速度分別是v1和v2，因A球滑下過程中，機械能守恒，有：

mg（3x0）sin30°=

解得： …①

又因A與B球碰撞過程中，動量守恒，有：mv1=2mv2…②

聯立①②得：

答：A、B相碰后瞬間的共同速度的大小是

（2）解：碰后，A、B和彈簧組成的系統在運動過程中，機械能守恒．

則有：

解得： = …③

答：A、B相碰前彈簧的具有的彈性勢能是

（3）解：設物塊在最高點C的速度是vC，

物塊A恰能通過圓弧軌道的最高點C點時，重力提供向心力，得：

所以： ④

C點相對于O點的高度：

h=2x0sin30°+R+Rcos30°= x0…⑤

物塊從O到C的過程中機械能守恒，得：

…⑥

聯立④⑤⑥得： …⑦

設A與B碰撞后共同的速度為vB，碰撞前A的速度為vA，滑塊從P到B的過程中機械能守恒，得：

…⑧

A與B碰撞的過程中動量守恒．得：mvA=2mvB…⑨

A與B碰撞結束后從B到O的過程中機械能守恒，得：

…⑩

由于A與B不粘連，到達O點時，滑塊B開始受到彈簧的拉力，A與B分離．

聯立⑦⑧⑨⑩解得：

答：若在斜面頂端再連接一光滑的半徑R=x0的半圓軌道PQ，圓軌道與斜面相切于最高點P，現讓物塊A以初速度v從P點沿斜面下滑，與B碰后返回到P點還具有向上的速度，物塊A恰能通過圓弧軌道的最高點時物體的速度是 ．

【解析】（1）A球下滑4x0，與B球碰撞前的過程，只有重力做功，A球的機械能守恒，據此定律列式求得A的速度；A與B球碰撞過程中，遵守動量守恒，可列式動量守恒方程求得A、B相碰后瞬間的共同速度的大小；（2）碰后，A、B和彈簧組成的系統在運動過程中，機械能守恒，由機械能守恒定律列出方程，結合第1問的結果，即可求解A、B相碰前彈簧的具有的彈性勢能；（3）該問中A下滑的過程以及與B碰撞的過程與（1）、（2）問相似，碰后到最高點的過程中機械能守恒，且滿足物體過軌道最高點的條件，列出相應的公式，即可求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用機械能綜合應用和動量守恒定律的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握系統初態的總機械能E 1 等于末態的總機械能E 2 ，即E1 =E2；系統減少的總重力勢能ΔE P減 等于系統增加的總動能ΔE K增 ，即ΔE P減 =ΔE K增；若系統只有A、