Question

用長L=1.6m的細繩，一端系著質量M=1kg的木塊，另一端掛在固定點上。現有一顆質量m=20g的子彈以v₁=500m／s的水平速度向木塊中心射擊，結果子彈穿出木塊后以v₂=100m／s的速度前進。問木塊能運動到多高？（取g=10m／s²，空氣阻力不計）

Answer 1

2.96m

【錯解分析】錯解：在水平方向動量守恒，有
mv₁=Mv+mv₂                     (1)
式①中v為木塊被子彈擊中后的速度。木塊被子彈擊中后便以速度v開始擺動。由于繩子對木塊的拉力跟木塊的位移垂直，對木塊不做功，所以木塊的機械能守恒，即
     （2）
h為木塊所擺動的高度。解①，②聯立方程組得到
v=8(m/s)
h=3.2(m)
【錯解原因】這個解法是錯誤的。h=3.2m，就是木塊擺動到了B點。如圖所示。則它在B點時的速度v_B。應滿足方程


這時木塊的重力提供了木塊在B點做圓周運動所需要的向心力。解上述方程得
（m/s）
如果v_B＜4 m/s，則木塊不能升到B點，在到達B點之前的某一位置以某一速度開始做斜向上拋運動。而木塊在B點時的速度v_B=4m/s，是不符合機械能守恒定律的，木塊在 B點時的能量為(選A點為零勢能點)
木塊在A點時的能量為


兩者不相等�？梢娔緣K升不到B點，一定是h＜3.2 m。
實際上，在木塊向上運動的過程中，速度逐漸減小。當木塊運動到某一臨界位置C時，如圖所示，木塊所受的重力在繩子方向的分力恰好等于木塊做圓周運動所需要的向心力。此時繩子的拉力為零，繩子便開始松弛了。木塊就從這個位置開始，以此刻所具有的速度v_c作斜上拋運動。木塊所能到達的高度就是C點的高度和從C點開始的斜上拋運動的最大高度之和。
【正解】如上分析，從式①求得v_A=v=8m/s。木塊在臨界位置C時的速度為v_c，高度為
h′=l(1+cosθ) 如圖所示，

根據機船能守恒定律有
         ③
又，即    ④
從式③和式④得


所以
木塊從C點開始以速度v_c做斜上拋運動所能達到的最大高度h″為

所以木塊能達到的最大高度h為

【點評】物體能否做圓運動，不是我們想象它怎樣就怎樣這里有一個需要的向心力和提供向心力能否吻合的問題，當需要能從實際提供中找到時，就可以做圓運動。所謂需要就是符合牛頓第二定律F_向=ma_向的力，而提供則是實際中的力若兩者不相等，則物體將做向心運動或者離心運動。