Question

【題目】細管AB內壁光滑、厚度不計，加工成如圖所示形狀，長L=0.8m的BD段固定在豎直平面內，其B端與半徑R=0.4m的光滑圓弧軌道 平滑連接，CD段是半徑R=0.4m的1/4圓弧，AC段在水平面上，與長S=1.25m、動摩擦因數μ=0.25的水平軌道AQ平滑相連，管中有兩個可視為質點的小球a、b，ma=3mb．開始b球靜止，a球以速度v向右運動，與b球發生彈性碰撞之后，b球能夠越過軌道最高點P，a球能滑出AQ．(重力加速度g取10m/s2， )．求：

①若v=4m/s，碰后b球的速度大小；

②若v未知，碰后a球的最大速度；

③若v未知，v的取值范圍

Answer 1

【答案】①6m/s．②4.9m/s ③5m/s＜v0≤9.8m/s

【解析】①a、b碰撞過程中，以a、b組成的系統為研究對象，經受力分析，系統動量守恒．選向右的方向為正，設a、b碰后瞬間速度為va1、vb1，由動量守恒得：
mav0=mava1+mbvb1…①
因a、b的碰撞是彈性碰撞，所以機械能守恒，有： ②
①②兩式聯立解得：va1＝v0＝2m/s；vb1＝v0＝6m/s
②、因a球能滑出AQ，故a與b碰后，a上升的高度不能超過B點，即上升的高度不會超過L+R．設碰撞后a的最大速度為
a球上升的過程中機械能守恒，有：ma=mag（L+R）
得：＝≈4.9m/s
③、欲使b能通過最高點，設b球與a碰撞后的速度為vb1，經過最高點時的速度為vb2，則有：mbg≤mb
得：vb2≥＝2m/s
b球在上升至最高點的過程中，只有重力做功，機械能守恒，有：

解得：vb1≥6m/s
v0min≥vb1＝4m/s
因為a球能通過粗糙區域，設a碰撞前的速度為，碰撞后，的速度為va1，則有：＞2μgs
解得：va1＞2.5m/s
＝2va1＞5m/s
碰后a上升的高度不能超過（L+R），必須滿足v0max＝2va1≤2≈9.8m/s
綜上可得5m/s＜v0≤9.8m/s