Question

（2006?邵陽模擬）一塊足夠長的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序號是1，2，3，…n的物塊，所有物塊的質量均為m，與木板間的摩擦因素都相同，開始時，木板靜止不動，第1，2，3，…n號物塊的初速度分別是v₀，2v₀，3v₀，…，nv₀，方向都向右，木板的質量與木塊的總質量相等，最終所有的物塊與木板以共同速度勻速運動，設物塊之間均無相互碰撞，木板足夠長．試求：
（1）所有物塊與木板一起勻速運動的速度v_n
（2）第1號物塊與木板剛好相對靜止時的速度v₁
（3）通過分析和計算說明第k號（k＜n）物塊的最小速度v_k．

Answer 1

分析：（1）A、B、C三個物體組成的系統，所受合外力為零，系統的動量守恒，根據動量守恒定律求出最終A、B、C的共同速度．
（2）根據動量守恒定律和動量定理研究，求出A與C剛相對靜止時B的速度．
（3））第1號物塊到達速度v1=

1

2

v0之后，又會隨木板做加速運動．所以

1

2

v0就是第1號物塊的最小速度．同理可得，第k號（k＜n）物塊的最小速度就是它與木板相對靜止的瞬間的速度．

解答：解：（1）根據動量守恒定律得：mv₀+2mv₀+3mv₀+…+nmv₀=2nmv_n
解得：vn=

1

4

(n+1)v0  
（2）設經過t時間，第1號物塊與木板剛好相對靜止，共同速度為v₁，根據動量定理得
   對第一個木塊：-μmgt=m（v₁-v₀）
   對木板：n?μmgt=nmv₁
聯立以上二式，解得：v1=

1

2

v0；μmgt=

1

2

mv0
  （3）第1號物塊到達速度v1=

1

2

v0之后，又會隨木板做加速運動．所以

1

2

v0就是第1號物塊的最小速度．同理可得，第k號（k＜n）物塊的最小速度就是它與木板相對靜止的瞬間的速度．
設經過t₂時間，第2號物塊與木板剛好相對靜止，共同速度為v₂，根據動量定理得
   對第2個木塊：-μmgt₂=mv₂-（2mv₀-μmgt）
   對木板和第1個木塊：（n-1）μmgt₂=（n+1）m（v₂-v₁）
聯立以上二式 v2=

2n-1

2n

v0；μmgt2=

2n+1

2n

mv0

設經過t₃時間，第3號物塊與木板剛好相對靜止，共同速度為v₃，根據動量定理得
   對第3個木塊：-μmgt₃=mv₃-（3mv₀-μmgt-μmgt₂）
   對木板和2個木塊：（n-2）μmgt₃=（n+2）m（v₃-v₂）
?
?
?
設經過t_k時間，第k號物塊與木板剛好相對靜止，共同速度為v_k，根據動量定理得
   對第k個木塊：-μmgt_k=mv_k-（kmv₀-μmgt-μmgt₂…μmgt_k）
   對木板和（k-1）個木塊：[n-（k-1）]μmgt_k=[n+（k-1）]m（v_k-v_k-1）
聯立以上各式，解得：vk=

(2n+1-k)kv0

4n

答：（1）所有物塊與木板一起勻速運動的速度vn=

1

4

(n+1)v0；
（2）第1號物塊與木板剛好相對靜止時的速度v1=

1

2

v0；
（3）通過分析和計算說明第k號（k＜n）物塊的最小速度vk=

(2n+1-k)kv0

4n

．

點評：本題的運動過程比較復雜，研究對象比較多，按程序法進行分析，考查解決綜合題的能力．