Question

【題目】萬有引力定律發現的歷史是物理學中一段波瀾壯闊的歷史，開普勒、牛頓等科學家都貢獻了自己的智慧。開普勒在第谷留下的浩繁的觀測數據中發現了行星運動的三大定律： ①所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上；②對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內掃過相等的面積；③所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等，即：。牛頓是經典物理學的集大成者，他利用數學工具和開普勒定律發現萬有引力定律之時，雖未得到萬有引力常量G的具體值，但在不停的思考中猜想到：拉住月球使它圍繞地球運動的力與使蘋果落地的力，是否都是地球的引力，并且都與太陽和行星間的引力遵循統一的規律--平方反比規律？牛頓給出了著名的“月地檢驗”方案：他認為月球繞地球近似做勻速圓周運動，首先從運動學的角度計算出了月球繞地球做勻速圓周運動的向心加速度an1；他又從動力學的角度計算出了物體在月球軌道上的向心加速度an2。他認為可以通過比較兩個加速度的計算結果是否一致驗證遵循統一規律的猜想。

（1）牛頓對于萬有引力定律的推導過程嚴謹而繁瑣，中學階段可以借鑒牛頓的思想（即從運動角度推理物體的受力）由簡化的模型得到。若將行星繞太陽的運動視為勻速圓周運動，圓周運動半徑為 r，行星質量為 m ，太陽質量為 M，請你結合開普勒定律、圓周運動、牛頓定律等知識，證明：太陽與行星之間的引力與它們質量的乘積成正比，它們距離平方成反比，即：。

（2）牛頓時代已知如下數據：月球繞地球運行的周期T、地球半徑R、月球與地球間的距離60R、地球表面的重力加速度g。

a．請你分別從運動學的角度和動力學的角度推導出“月地檢驗”中的兩個加速度an1、an2的大小表達式；

b．已知月球繞地球做圓周運動的周期約為T=2.4×106s，地球半徑約為R=6.4×106m，計算時可取g≈π2 m/s2。結合題中的已知條件，求上述兩個加速度大小的比值an1/an2（保留兩位有效數字），并得出合理的結論。

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)a. b.

【解析】

（1）由牛頓第二定律可知，行星做圓周運動的向心力等于行星與恒星之間的引力：

①

根據開普勒第三定律可知：

②

由①②可知

③

由對稱性，可知

④

根據牛頓第三定律可知，力的作用是相互的，可知

⑤

從而可知：

（2）a．月球繞地球做勻速圓周運動，由運動學公式：

解得：

質量為m的物體在地面上受到的重力：

質量為m的物體在月球軌道上受到的引力：

解得：

b．由以上結果得：

代入已知數值得：

由以上結果可以看出，在誤差范圍內可認為a1=a2，這說明物體在地面上所受重力與地球吸引月球的力是同一性質的力，遵循與距離的平方成反比的規律．