Question

【題目】如圖所示，一個豎直固定放置、且導熱良好的圓筒型氣缸內部盛有理想氣體。氣缸內部橫截面積為S=100cm2，深度為L=120cm。氣缸上面被一厚度不計的活塞蓋住，活塞通過勁度系數為k=200N/m的彈簧與氣缸底部相連接。當系統處于靜止狀態時，活塞到缸底的距離為L1=100cm。現在在活塞中央輕輕放置一個重力為G=300N的物塊，活塞下降到距缸底的距離為L2=80cm時剛好靜止不動。在不去掉物塊的情況下，在活塞上的中點加一個豎直向上的拉力，使活塞緩慢移動到氣缸口處。已知氣缸周圍外界環境溫度保持不變，外界大氣壓強P0=1.0×105Pa，不計摩擦及活塞和彈簧的質量，并假定在整個過程中，氣缸不漏氣，彈簧遵從胡克定律。試求：活塞到氣缸口處時，拉力的大小和彈簧的原長。

Answer 1

【答案】513.3N，0.8m

【解析】

取氣體為研究對象，設不放物塊時，為狀態1，氣體壓強為1，體積為V1；放上物塊靜止時，為狀態2，氣體壓強為2，體積為V2；活塞在氣缸口處時為狀態3，氣體壓強為3，體積為V3。

在狀態1，設彈簧處于伸長狀態，伸長量為x1（解出為負值為壓縮狀態），有

V1=L1S

根據活塞的受力（如圖1所示）有

1S=0S+kx1

在狀態2，設彈簧處于伸長狀態，伸長量為x2（解出為負值為壓縮狀態），有

V2=L2S

根據活塞的受力（如圖2所示）有

2S=0S+kx2+G

在狀態3，設彈簧處于伸長狀態，伸長量為x3（解出為負值為壓縮狀態），有

V3=LS

根據活塞的受力（如圖3所示）有

3S+F=0S+kx3+G

從狀態1到狀態2的過程，由理想氣體狀態方程得

1L1S =2L2S

從狀態1到狀態3的過程，由理想氣體狀態方程得

1L1S =3LS

由題意知

x1=x2+（L1L2）

x3=x1+（LL1）

設彈簧原長為L0，有

x1=L1L0

解得活塞到氣缸口處時，拉力的大小

F=N≈513.3N

彈簧的原長

L0=0.8m