Question

理論推證表明，取離星球中心無窮遠處為引力勢能的零勢點時，以物體在距離星球中心為r處的引力勢能可表示為：E_p=-G

Mm

r

．G為萬有引力常數，M、m表示星球與物體的質量，而萬有引力做的功等于引力勢能的減少量．
現已知月球質量為M、半徑為R，探月飛船的總質量為m．月球表面的重力加速度為g，萬有引力常數G．要將探月飛船從月球表面發送到離月球表面高度為H的環月軌道消耗的能量至少為E．
阿聰同學提出了一種計算此能量E的方法：消耗的能量由兩部分組成，一部分是克服萬有引力做的功W_引（等于引力勢能的增加量）；另一部分是飛船獲得的動能E_K=

1

2

mv²（v為飛船在環月軌道上運行的線速度），最后算出：E=

1

2

mv²+W_引，請根據阿聰同學的思路算出最后的結果（不計飛船質量的變化及其他天體的引力和月球的自轉等影響）．

Answer 1

分析：將飛船從月球表面發送到上述環月軌道的能量等于動能和勢能的增加量，勢能增加量根據公式E_p=-G

Mm

r

求解，根據萬有引力提供向心力列式求解動能增加量．

解答：解：由題意知：
W_引=△Ep=-G

Mm

(R+H)

-[-G

Mm

R

]=

GMmH

R(R+H)

              
飛船在軌道上：
G

Mm

(R+H)2

=m

v2

R+H

…①
所以：

1

2

mv2=

GMm

2(R+H)

 …②
所發射飛船消耗的能量至少為：
E=

1

2

mv2+W引=

GMm

2(R+H)

+

GMmH

R(R+H)

=

GMm(R+2H)

2R(R+H)

…③
另解：飛船在未發射時，在月球表面：G

Mm

R2

=mg；
所以：GMm=mgR² …④
④代入③有：E=

mgR(R+2H)

2(R+H)

答：要將探月飛船從月球表面發送到離月球表面高度為H的環月軌道消耗的能量至少為

GMm(R+2H)

2R(R+H)

或者

mgR(R+2H)

2(R+H)

．

點評：本題關鍵是明確衛星的向心力來源、勢能的表達式、動能的表達式，然后根據牛頓第二定律和機械能守恒定律列式求解．