Question

（20分）如圖所示，光滑水平地面上方被豎直平面MN分隔成兩部分，左邊（包括豎直平面MN）有勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，右邊有勻強(qiáng)電場(chǎng)E₀（圖中未標(biāo)）。在O點(diǎn)用長(zhǎng)為L＝5m的輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的絕緣細(xì)繩系一質(zhì)量m_A＝0.02kg、帶負(fù)電且電荷量q_A＝4×10^－4C的小球A，使其在豎直平面內(nèi)以速度v_A＝2.5m/s沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與地面剛好不接觸。處于原長(zhǎng)的輕質(zhì)彈簧左端固定在墻上，右端與質(zhì)量m_B＝0.01kg、帶負(fù)電且電荷量q_B＝2×10^－4C的小球B接觸但不連接，此時(shí)B球剛好位于M點(diǎn)。現(xiàn)用水平向左的推力將B球緩慢推到P點(diǎn)（彈簧仍在彈性限度內(nèi)），推力所做的功是W＝2.0J，當(dāng)撤去推力后，B球沿地面向右運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)對(duì)地面的壓力剛好為零，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)恰好能與A球在最低點(diǎn)發(fā)生正碰，并瞬間成為一個(gè)整體C（A、B、C都可以看著質(zhì)點(diǎn)），碰撞前后總電荷量保持不變，碰后瞬間勻強(qiáng)電場(chǎng)大小變?yōu)?i>E₁＝1×10³ N/C，方向不變。g＝10m/s²。求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向？
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₀的大小和方向？
（3）整體C運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對(duì)C的拉力F的大小？

Answer 1

（1）B＝25T，方向垂直紙面水平向外
（2）E₀＝5×10² N/C，方向豎直向下
（3）F＝1.5N

（1）設(shè)B球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)速度為v_B，根據(jù)能量守恒有
W＝, v_B＝20 m / s········································（1分）
B球運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)對(duì)地面的壓力剛好為零，則
q_Bv_BB＝m_Bg ·············（1分）  解得B＝25T···············（1分）
B球帶負(fù)電，受洛倫茲力豎直向上，則磁場(chǎng)方向垂直紙面水平向外。··（1分）
（2）小球A在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以受到的電場(chǎng)力與重力大小相等、方向相反。即有q_AE₀＝m_Ag·····································（1分）
解得E₀＝5×10² N/C···········································（1分）
A球帶負(fù)電，受到的電場(chǎng)力豎直向上，則電場(chǎng)方向豎直向下。·········（1分）
（3）設(shè)A、B碰后瞬間整體C帶電荷量為q_c，質(zhì)量為m­_c，速度為v_c，由動(dòng)量守恒
q_c＝q_A＋q_B＝6×10^－4C，m_c＝m_A＋m_B＝0.03kg
m_Bv_B－m_Av_A＝m_c v_c·············································（1分）
解得v_c＝5m/s
設(shè)整體C受到電場(chǎng)力和重力的合力為F_合，在最低點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力為F_向，則F_合＝q_cE₁－m_cg＝0.3N，F_向＝＝0.15N, F_合＞F_向，所以，細(xì)繩將松馳，整體C不會(huì)做圓周運(yùn)動(dòng)到達(dá)最高點(diǎn)，而是從碰后開始做類平拋運(yùn)動(dòng)。·························································（2分）
設(shè)做類平拋運(yùn)動(dòng)的加速度為a，經(jīng)過時(shí)間t在某點(diǎn)S將繩繃緊，對(duì)應(yīng)的水平方向的距離為x，豎直方向的距離為y，如圖，則

a＝F_合/m_c····（1分）      x＝v_ct ······（1分）
y＝·······························（1分）
且有x²＋(L－y)²＝L²或x²＋(y－L)²＝L² ····（1分）
解得a＝10 m/s²，t＝1s，x＝5m，y＝5m
由于x＝y＝L，某點(diǎn)S與O點(diǎn)在同一水平位置，C的水平速度變?yōu)榱恪＃?分）
C從S點(diǎn)到最高點(diǎn)之間將做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)在S點(diǎn)的豎直速度為v_s，到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v，則v_s＝at,  v_s＝10m/s   ································（1分）
, v＝10m/s·····················（1分）
根據(jù)牛頓第二定律得F＋m_cg－q_cE₁＝······················（2分）
解得F＝1.5N·················································（1分）