Question

【題目】電磁緩沖器是應用于車輛上以提高運行安全性的輔助制動裝置，其工作原理是利用電磁阻尼作用減緩車輛的速度。電磁阻尼作用可以借助如下模型討論：如圖所示，將形狀相同的兩根平行且足夠長的鋁條固定在光滑斜面上，斜面與水平方向夾角為θ。一質量為m的條形磁鐵滑入兩鋁條間，恰好勻速穿過，穿過時磁鐵兩端面與兩鋁條的間距始終保持恒定，其引起電磁感應的效果與磁鐵不動，鋁條相對磁鐵運動相同。磁鐵端面是邊長為d的正方形，由于磁鐵距離鋁條很近，磁鐵端面正對兩鋁條區域的磁場均可視為勻強磁場，磁感應強度為B，鋁條的高度大于d，電阻率為ρ，為研究問題方便，鋁條中只考慮與磁鐵正對部分的電阻和磁場，其他部分電阻和磁場可忽略不計，假設磁鐵進入鋁條間以后，減少的機械能完全轉化為鋁條的內能，重力加速度為g
（1）求鋁條中與磁鐵正對部分的電流I；
（2）若兩鋁條的寬度均為b，推導磁鐵勻速穿過鋁條間時速度v的表達式；
（3）在其他條件不變的情況下，僅將兩鋁條更換為寬度 的鋁條，磁鐵仍以速度v進入鋁條間，試簡要分析說明磁鐵在鋁條間運動時的加速度和速度如何變化。

Answer 1

【答案】
（1）

解：磁鐵在鋁條間運動時，兩根鋁條受到的安培力大小相等均為F安，有

F安=IdB①

磁鐵受到沿斜面向上的作用力為F，其大小有

F=2F安②

磁鐵勻速運動時受力平衡，則有

F–mgsin θ=0③

聯立①②③式可得 ④

答：鋁條中與磁鐵正對部分的電流I為

（2）

解：磁鐵穿過鋁條時，在鋁條中產生的感應電動勢為E，有

E=Bdv⑤

鋁條與磁鐵正對部分的電阻為R，由電阻定律有

⑥

由歐姆定律有

⑦

聯立④⑤⑥⑦式可得 ⑧

答：磁鐵勻速穿過鋁條間時速度v的表達式為 。

（3）

解：磁鐵以速度v進入鋁條間，恰好做勻速運動時，磁鐵受到沿斜面向上的作用力F，聯立①②⑤⑥⑦式可得

⑨

當鋁條的寬度b'>b時，磁鐵以速度v進入鋁條間時，磁鐵受到的作用力變為F'，有

⑩

可見，F'>F=mgsin θ，磁鐵所受到的合力方向沿斜面向上，獲得與運動方向相反的加速度，磁鐵將減速下滑，此時加速度最大，之后，隨著運動速度減小，F'也隨著減小，磁鐵所受的合力也減小，由于磁鐵加速度與所受到的合力成正比，磁鐵的加速度逐漸減小。綜上所述，磁鐵做加速度逐漸減小的減速運動。直到F'=mgsin θ時，磁鐵重新達到平衡狀態，將再次以較小的速度勻速下滑。

【解析】（1）磁鐵在鋁條間運動時，根據安培力公式F=BdI求出兩根鋁條受到的安培力大小．磁鐵勻速運動，受力平衡，由平衡條件求解鋁條中與磁鐵正對部分的電流I．（2）根據法拉第電磁感應定律求出鋁條中產生的感應電動勢，根據電阻定律得到鋁條與磁鐵正對部分的電阻，結合歐姆定律列式，可求解速度v的表達式．（3）磁鐵以速度v進入鋁條間恰好做勻速運動時，磁鐵受到沿斜面向上的作用力F．由上題結果得到F與b、v等量的關系．再分析當兩鋁條的寬度變為b′時，受到的作用力變化，由牛頓第二定律分析鋁條的運動情況，從而得到加速度和速度的變化情況．