Question

如圖為一傳送帶裝置模型，斜面的傾角θ，底端經一長度可忽略的光滑圓弧與足夠長的水平傳送帶相連接，質量m=2kg的物體從高h=30cm的斜面上由靜止開始下滑，它與斜面的動摩擦因數μ₁=0.25，與水平傳送帶的動摩擦因數μ₂=0.5，物體在傳送帶上運動一段時間以后，物體又回到了斜面上，如此反復多次后最終停在斜面底端．已知傳送帶的速度恒為v=2.5m/s，tanθ=0.75，g取10m/s²．求：
（1）從物體開始下滑到第一次回到斜面的過程中，物體與傳送帶因摩擦產生的熱量；
（2）從物體開始下滑到最終停在斜面底端，物體在斜面上通過的總路程．

Answer 1

對物體從靜止開始到達底端的過程運用動能定理得：
mgh-μ1mgs1cosθ=

1

2

mv12-0
代入數據解得：v₁=2m/s，
物體滑上傳送帶后向右做勻減速運動，勻減速運動的位移為：
x1=

v12

2μ2g

=

4

10

=0.4m，
勻減速運動的時間為：t1=

v1

μ2g

=

2

5

s=0.4s，
該段時間內的傳送帶的位移為：x₂=vt₁=2.5×0.4m=1m
則相對路程的大小為：△x₁=x₁+x₂=1.4m，
返回的過程做勻加速直線運動，根據x1=

1

2

at22，
解得：t2=

2x1 a

=

2×0.4 5

=0.4s，
傳送帶的位移為：x₃=vt₂=2.5×0.4=1m，
則相對位移大小為：△x₂=x₃-x₁=0.6m
相對總路程的大小為：△x=△x₁+△x₂=2m，
則由摩擦產生的熱量為：Q=μ₂mg△x=0.5×20×2J=20J．
（2）在傳送帶上摩擦力先做負功，再做正功，在傳送帶上摩擦力做功為零，對全過程運用動能定理得：
mgh-μ₁mgscosθ=0
代入數據解得：s=1.5m．
答：（1）物體與傳送帶因摩擦產生的熱量為20J；
（2）物體在斜面上通過的總路程為1.5m．