Question

（2006?江蘇）如圖所示，頂角=45°的金屬導軌MON固定在水平面內，導軌處在方向豎直、磁感應強度為B的勻強磁場中．一根與ON垂直的導體棒在水平外力作用下以恒定速度v₀沿導軌MON向右滑動，導體棒的質量為m，導軌與導體棒單位長度的電阻均勻為r．導體棒與導軌接觸點為a和b，導體棒在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸．t=0時，導體棒位于頂角O處，求：
（1）t時刻流過導體棒的電流強度I和電流方向．
（2）導體棒作勻速直線運動時水平外力F的表達式．
（3）導體棒在0～t時間內產生的焦耳熱Q．
（4）若在t₀時刻將外力F撤去，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x．

Answer 1

分析：（1）求出t時刻導體棒的有效長度，結合切割產生的感應電動勢和閉合電路歐姆定律求出電流強度的大小，根據右手定則求出電流的方向．
（2）當導體棒做勻速直線運動時，水平外力等于安培力，根據平衡求出水平拉力的表達式．
（3）導體棒在0～t時間內電流大小恒定，抓住R與時間正比，通過平均功率，根據Q=Pt求出產生的焦耳熱Q．
（4）根據動量定理，結合微分思想、運動學公式求出在t₀時刻將外力F撤去，導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x．

解答：解：（1）0到t時間內，導體棒的位移x=v₀t
t時刻，導體棒長度l=x
導體棒的電動勢 E=Blv₀
回路總電阻 R=（2x+

2

x）r
電流強度   I=

E

R

=

Bv0

(2+ 2 )r

電流方向為b到a．
（2）勻速直線運動時，安培力等于拉力．
F=BlI=

B2 v 2 0 t

(2+ 2 )r

（3）t時刻導體棒的電功率  P=I²R′
由于I恒定，R′=v₀rt正比于t
因此

.

P

=I²

.

R

=

1

2

I² R′
Q=

.

P

t=

B2v 03 t2

2(2+ 2 )2r

（4）撤去外力后，設任意時刻t導體棒的坐標為x，速度為v，取很短時間△t或很短距離△x

在t～t+△t時間內，由動量定理得
BlI△t=m△v∑

B2

(2+ 2 )r

（lv△t）=∑m△v=

B2

(2+ 2 )r

△S=mv₀
掃過面積△S=

(x0+x)(x-x0)

2

=

x2- x 2 0

2

（x₀=v₀t₀）得
x=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

或設滑行距離為d
則△S=

v0t0+(v0t0+d)

2

d
即d²+2v₀t₀d-2△S=0
解之 d=-v₀t₀+

2△S+(v0t0)2

得x=v₀t₀+d=

2△S+(v0t0)2

=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

答：（1）t時刻流過導體棒的電流強度I為

Bv0

(2+ 2 )r

，電流方向為b到a．
（2）導體棒作勻速直線運動時水平外力F的表達式為F=

B2 v 2 0 t

(2+ 2 )r

．
（3）導體棒在0～t時間內產生的焦耳熱Q=

B2v 03 t2

2(2+ 2 )2r

．
（4）導體棒最終在導軌上靜止時的坐標x=

2(2+ 2 )mv0r B2  +(v0t0)2

．

點評：本題綜合考查了切割產生的感應電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等知識點，綜合性較強，尤其在第四問，對學生能力要求較高．