Question

如圖所示，直角坐標平面Oxy在豎直平面內，y軸豎直向上，在第一象限內分布著方向豎直向上的勻強電場(不包含y軸)，場強大小用E₁，表示，在第二象限內分布著方向沿x軸負方向的勻強電場，場強大小用E₂表示。用長度為L的絕緣細線將質量為m、電荷量為+q的帶電小球(可看成質點)懸掛在P點，P點在y軸上，坐標為((0, 2L)，在P點正下方與P點距離小于L的某點Q釘一釘子。現用外力把小球拉到左側與P等高處，細線被拉直與x軸平打，由靜止釋放，小球運動到最低點時繩恰被拉斷，然后進入第一象限，經過時間，立即在第一象限內再加垂直于Oxy平面向里的勻強磁場(圖中未畫出)，磁感應強度為，再經過時間t_o，=撤去勻強磁場。已知E₁=，E₂=，細線能夠承受的最大拉力是F₀=3mg。(結果用g、L、m表示)求：

(1)小球在下擺過程中的最大速度v_m=?

(2)Q點與P點之間的距離h=?

(3)小球在第一象限運動的時間t=? 小球離開第一象限的位置坐標?

Answer 1

解：

(1) 小球在向下擺動過程中，設合力與豎直方向的夾角為θ，當速度方向與合力方向垂直時，即細線與豎直方向的夾角為θ時，速度最大，設為v_m，則

 …………………（2分）

解得，θ=37^°

由動能定理有，有

 ………………………（2分）

解得      ………………………（1分）

（2）設小球運動到Ｐ點正下方時速度為v₁，由動能定理有，有

   ………………………（2分）

解得

小球運動到最低點時，細線被釘子擋住，做圓周運動的半徑為r，則

根據牛頓第二定律，有

 ………………………（1分）

   ………………………（1分）

解得 ………………………（1分）

（3）繩被拉斷，小球進入第一象限，由于qE₁=mg，所以小球沿水平方向做勻速直線運動。經過時間t₀，加上勻強磁場后，小球做勻速圓周運動，設半徑為R，周期為T，則

   ………………………（1分）

   ………………………（1分）

解得 ，

所以，   ………………………（1分）

即小球做圓周運動時間是四分之三個周期，撤去勻強磁場后，小球向下做勻速直線運動穿過x軸，設撤去勻強磁場時，小球的位置與x軸的距離是y，運動時間為t₁，則

 ………………………（1分）

   ………………………（1分）

在第一象限的總時間………………………（1分）

  …………（1分）

設小球離開x軸的坐標為（x，0），則

  …………（1分）

解得，小球離開第一象限的位置坐標是（ …（1分）