Question

【題目】如圖所示，以A、B和C、D為端點的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C，一物塊被輕放在水平勻速運動的傳送帶上E點，運動到A時剛好與傳送帶速度相同，然后經A沿半圓軌道滑下，再經B滑上滑板。滑板運動到C時被牢固粘連。物塊可視為質點，質量為m，滑板質量為M=2m，兩半圓半徑均為R，板長l=6.5R,板右端到C的距離L在R<L<5R范圍內取值，E距A為S=5R,物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數均為μ=0.5，重力加速度取g。

（1）求物塊滑到B點的速度大小；

（2）試討論物塊從滑上滑板到離開右端的過程中，克服摩擦力做的功Wf與L的關系，并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點。

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析；

【解析】（1）設物塊運動到A和B點的速度分別為v1、v2，
由動能定理得μmgS＝mv12…①
由機械能守恒定律m v22＝2mgR+m v12…②
聯立①②，得v2＝3 …③
（2）設滑板與物塊達到共同速度v3時，位移分別為l1、l2，
由動量守恒定律mv2=（m+M）v3…④
由動能定理μmgl1＝M v32…⑤
μmgl2＝m v32m v22…⑥
聯立③④⑤⑥，得l1=2R　　　l2=8R…⑦
物塊相對滑板的位移△l=l2-l1 △l＜l
即物塊與滑板在達到相同共同速度時，物塊未離開滑板…⑧
物塊滑到滑板右端時
若R＜L＜2R，Wf=μmg（l+L）…⑨
Wf＝mg(13R+2L)…⑩
若2R≤L＜5R，Wf=μmg（l+l1）…（11）
Wf＝mgR…（12）
設物塊滑到C點的動能為Ek，
由動能定理Wf＝Ekmv22…（13）
L最小時，克服摩擦力做功最小，因為L＞R，
由③⑩（13）確定Ek小于mgR，則物塊不能滑到CD軌道中點．