Question

【題目】如圖所示，足夠長(zhǎng)的光滑水平桌面與長(zhǎng)度L=5.4m 的水平傳送帶平滑連接，傳送帶右端與半徑r= 0.5m的光滑半圓軌道相切，半圓的直徑CE豎直。A、B兩小物塊的質(zhì)量分別為mA=4kg、mB=2kg，物塊之間壓縮著一根輕彈簧并用細(xì)繩鎖定。當(dāng)A、B在桌面上向右運(yùn)動(dòng)的速度υ1＝1m/s時(shí)，細(xì)線斷裂，彈簧脫離兩物塊后，A繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，并在靜止的傳送帶上滑行了s=1.8m。已知物塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，重力加速度g = 10m/s2。求

(1)細(xì)線斷裂后，彈簧釋放的彈性勢(shì)能EP ；

(2)若在物塊A滑上傳送帶時(shí)，傳送帶立即以速度υ1＝1m/s逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，求物塊與傳送帶之間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q1；

(3)若物塊A滑仁傳送帶時(shí)，傳送帶立即以速度υ2順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)，為使A能沖上圓軌道，并通過最高點(diǎn)E，求υ2的取值范圍，并作出物塊與傳送帶之間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q2與υ2的關(guān)系圖。（作圖不需要推導(dǎo)過程，標(biāo)示出關(guān)鍵點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)）

Answer 1

【答案】(1) Ep=24J(2) Q1= 32J (3) v2≥5m/s

【解析】

（1）設(shè)A、B與彈簧分離時(shí)的速度分別為vA、vB，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律

（mA+mB）v=mAvA+mBvB

A在桌面上運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理

-μmAgs=0-

聯(lián)立解得

vA=3m/s

vB=-3m/s

彈簧釋放的彈性勢(shì)能為

Ep=+-

解得Ep=24J ；

（2）A在傳送帶上向右減速，速度減為零后又向左加速，直到與傳送帶共速，之后向左離開傳送帶。設(shè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為M加速度大小為

a=μg=2.5m/s2

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

-v1=vA-at1

A的位移

傳送帶的位移

x帶1=（-v1）·t1

滑塊與傳送帶問的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程為s1=x1-x帶1

解得

摩擦生熱Q1=μmAgs1=32J

（3）若傳送帶速度足夠大，A將一直加速，此時(shí)A沖上圓軌道的速度最大。由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

解得vmax=6m/s

當(dāng)A剛好能到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，A沖上圓軌道的速度最小。在E點(diǎn)，由牛頓第二定律

mg=m

A由C運(yùn)動(dòng)到E，由機(jī)械能守恒定律

mg·2r=

聯(lián)立解得vmin=5m/s

綜上，v2≥5m/s

摩擦生熱Q2與v2的關(guān)系如圖

（i）當(dāng)5m/s≤v2＜6m/s時(shí)，A在傳送帶上先加速后勻速運(yùn)動(dòng)。A加速的位移

x2=

A加速的時(shí)間t2=

傳送帶的位移x帶2=v2t2=

A傳送帶的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程

s2=x帶2-x2=

解得 Q2=μmAgs2=2J

（ii）當(dāng)v2＞6m/s時(shí)，A在傳送帶上將一直加速。

A加速的位移=L=5.4m

A加速度的時(shí)間==1.2s

傳送帶的位移x帶2′=v2t2′=1.2v2

A和傳送帶的相對(duì)運(yùn)動(dòng)的路程

s2′=x帶2′-=（1.2v2-5.4）m

解得Q2′=μmAgs2′=（12v2-54）J

綜上，Q2=2J（5m/s≤v2＜6m/s），（12v2-54）J（v2≥6m/s）。