Question

【題目】如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區域內存在垂直圓面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一粒子源位于圓周上的M點，可向磁場區域內垂直磁場沿各個方向發射質量為m、電荷量為的粒子，不計粒子重力，N為圓周上另一點，半徑OM和ON間的夾角，且滿足．

若某一粒子以速率v，沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，求此粒子的速率移v；

若大量此類粒子以速率，從M點射入磁場，方向任意，則這些粒子在磁場中運動的最長時間為多少？

若由M點射入磁場各個方向的所有粒子速率均為題中計算出的，求磁場中有粒子通過的區域面積．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

(1)某一粒子以速率，沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，由幾何關系求得其做勻速圓周運動的半徑，由洛倫茲力提供向心力求出入射速度。

(2)某一粒子以速率從M點射入磁場，粒子在磁場中的半徑為，粒子在磁場中運動時間最長時，弧長（劣弧）最長，對應的弦長最長（磁場圓的直徑）。

(3)若由M點射入磁場各個方向的所有粒子速率均為，這些粒子在磁場中有相同的半徑，則圓心軌跡是以M為圓心、半徑為的圓。試著畫出極端情況下粒子能達到的區域，從而把粒子能到達的整個區域面積求出來。

(1) 粒子以速率沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，軌跡如圖：

設軌跡半徑為，則，解得：

由牛頓第二定律可得，解得：

(2) 大量此類粒子以速率從M點射入磁場

由牛頓第二定律可得，解得：

粒子方向任意，粒子在磁場中運動時間最長時，弧長（劣弧）最長，對應的弦長最長（磁場圓的直徑），軌跡如圖：

則，解得：

粒子在磁場中運動的最長時間

(3)粒子沿各個方向以進入磁場做勻速圓周時的軌跡半徑都為，且不變。由圖可知，粒子在磁場中通過的面積S等于以O3為圓心的半圓形MO3O的面積S1、以M為圓心的扇形MOQ的面積S2和以O點為圓心的圓弧MQ與直線MQ圍成的面積S3之和。

、、

所以