Question

【題目】古代戰(zhàn)場(chǎng)上人們?cè)O(shè)計(jì)了如圖所示的自動(dòng)投石裝置，其左端固定一彈簧，A為放入石塊口，BC是一長(zhǎng)為1.5R的豎直細(xì)管，上半部CD是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向。投石時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到相同位置后鎖定，在彈簧右端放置一塊石頭，解除鎖定，彈簧可將石頭向右彈射出去。在某次投放時(shí)，將質(zhì)量為m的石塊放入該裝置中，解除鎖定后石塊到達(dá)管口D時(shí)，對(duì)管壁的作用力恰好為零。不計(jì)石塊在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能。已知重力加速度為g。求：

(1)該石塊到達(dá)管口D時(shí)的速度大小v1；

(2)彈簧被鎖定時(shí)的彈性勢(shì)能Ep；

(3)已知山坡與水平地面相距2R，若使該投石管繞中軸線OO′在角的范圍內(nèi)來(lái)回緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只放置一塊石頭，石塊的質(zhì)量在m到m之間變化，持續(xù)投放足夠長(zhǎng)時(shí)間后，石塊能夠落到水平地面的最大面積S是多少？

Answer 1

【答案】(1) (2)3mgR (3)

【解析】

(1)石塊到管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，則：

解得：

(2)彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為石塊的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律有：

解得：

(3)不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)裝置對(duì)石塊速度大小的影響，質(zhì)量為m的石塊離開(kāi)管口后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間落到水面上，離OO′的水平距離為x1，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有

解得：

當(dāng)石塊的質(zhì)量為時(shí)，設(shè)其到達(dá)管口C時(shí)速度大小為v2，由機(jī)械能守恒定律有：

解得：

質(zhì)量為的石塊落到水面上時(shí)，設(shè)離OO′的水平距離為x2，則有

解得：

石塊能夠落到水面的最大面積為