Question

【題目】如圖所示，在xoy平面直角坐標系第一象限內(nèi)分布有垂直向外的勻強磁場，磁感應強度大小B=2.5×10﹣2T，在第二象限緊貼y軸和x軸放置一對平行金屬板MN（中心軸線過y軸），極板間距d=0.4m，極板與左側(cè)電路相連接．通過移動滑動頭P可以改變極板MN間的電壓．a、b為滑動變阻器的最下端和最上端（滑動變阻器的阻值分布均勻），a、b兩端所加電壓U= ．在MN中心軸線上距y軸距離為L=0.4m處有一粒子源S，沿x軸正方向連續(xù)射出比荷為=4.0×106C/kg，速度為vo=2.0×104m/s帶正電的粒子，粒子經(jīng)過y軸進入磁場后從x軸射出磁場（忽略粒子的重力和粒子之間的相互作用）．

（1）當滑動頭P在ab正中間時，求粒子射入磁場時速度的大小．

（2）當滑動頭P在ab間某位置時，粒子射出極板的速度偏轉(zhuǎn)角為α，試寫出粒子在磁場中運動的時間與α的函數(shù)關(guān)系，并由此計算粒子在磁場中運動的最長時間．

Answer 1

【答案】（1）2.1×104m/s．（2），最長時間為2.6×10﹣5s

【解析】解：（1）當滑動頭P在ab正中間時，極板間電壓U′= ，粒子在電場中做類平拋運動，設(shè)粒子射入磁場時沿y軸方向的分速度為vy：

①

vy=at②

L=v0t③

粒子射入磁場時速度的大小設(shè)為④

聯(lián)立解得： ⑤

（2）當滑動頭P在a端時，粒子在磁場中運動的速度大小為v0，有

⑥

解得：R0==0.2m

設(shè)粒子射出極板時速度的大小為v，偏向角為α，在磁場中圓周運動半徑為R．根據(jù)速度平行四邊形可得：

⑦

又，得R=⑧

由⑥⑦⑧可得： ⑨

粒子在磁場中做圓周運動的軌跡如圖所示

圓心為O′，與x軸交點為D，

設(shè)∠O′DO=β，根據(jù)幾何關(guān)系：

⑩

又：

解得：sinα=sinβ，得β=α

粒子在磁場中運動的周期為T：

粒子在磁場中軌跡對應的圓心角為

則粒子在磁場中運動的時間： ，得t=

由此結(jié)果可知，粒子射入磁場時速度偏轉(zhuǎn)角α越大，則粒子在磁場中運動的時間就越大．假設(shè)極板間電壓為最大值

時粒子能射出電場，則此粒子在磁場中運動的時間最長．

由（1）問規(guī)律可知當滑動頭P在b端時，粒子射入磁場時沿y方向的分速度：

y方向偏距：ym=，說明粒子可以射出極板．此時粒子速度偏轉(zhuǎn)角最大，設(shè)為αm，則

tanam=，得

故粒子在磁場中運動的最長時間： ，得

代入數(shù)值得：tm≈2.6×10﹣5s