Question

（2011?閘北區二模）如圖（a）所示，水平面上有兩根很長的平行導軌，間距為L，導軌間有豎直方向等距離間隔的勻強磁場B₁和B₂，B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．導軌上有矩形金屬框abcd，其總電阻為R，質量為m，框的寬度ab與磁場間隔相同．開始時，金屬框靜止不動，當兩勻強磁場同時以速度v₁沿直導軌勻速向左運動時，金屬框也會隨之開始沿直導軌運動，同時受到水平向右、大小為f的恒定阻力，并很快達到恒定速度．求：
（1）金屬框所達到的恒定速度v₂
（2）金屬框以恒定速度運動時，單位時間內克服阻力所做的功
（3）當金屬框達到恒定速度后，為了維持它的運動，磁場必須提供的功率
（4）若t=0時勻強磁場B₁和B₂同時由靜止開始沿直導軌向左做勻加速直線運動，經過較短時間后，金屬框也做勻加速直線運動，其v-t關系如圖（b）所示，已知在時刻t金屬框的瞬時速度大小為v_t，求金屬框做勻加速直線運動時的加速度大小．

Answer 1

分析：由于磁場的運動使得線框中的磁通量發生變化，電路中產生感應電流，而感應電流在磁場中又受到安掊力作用，線框在安培力和阻力作用下做加速運動，當運動穩定時，線框受到的安培力和阻力平衡，據此列式可以求得線框穩定后的速度，求得線框穩定后的速度后，據P=FV可以求得線框所受阻力的瞬時功率（即單位時間內克服阻力所做的功），當金屬框達到穩定速度后，為了維持它的運動，一是要克服阻力做功，二是由于線框電阻的存在電流要做功，磁場必須提供的功率等于克服阻力做功的功率加線框上的熱功率，當線框勻加速運動時，可以判斷磁場的加速度和線框相同，線框受安培力和阻力作用，由此根據受力分析列牛頓第二定律方程可以求得線框的加速度．

解答：解：（1）由于磁場以速度v₁向右運動，當金屬框穩定后以最大速度v₂向右運動，此時金屬框相對于磁場的運動速度為v₁-v₂，
根據右手定則可以判斷回路中產生的感應電動勢E等于ad、bc邊分別產生感應電動勢之和，即E=2BL（v₁-v₂）
根據歐姆定律可得，此時金屬框中產生的感應電流I=

E

R

=

2BL(v1-v2)

R

金屬框的兩條邊ad和bc都受到安培力作用，由題意知，ad和bc邊處于的磁場方向相反，電流方向也相反，故它們所受安培力方向一致，
故金屬框受到的安培力大小
F=2BIL=

4B2L2(v1-v2)

R

當金屬框速度最大時，安培力與摩擦力平衡，即滿足F-f=

4B2L2(v1-v2)

R

-f=0
由此解得：金屬框達到的恒定速度v₂=v1-

fR

4B2L2

（2）因為阻力恒為f，單位時間內阻力所做的功即為阻力做功的功率
所以Pf=fv2=fv1-

f2R

4B2L2

（3）當金屬框達到穩定速度后，電路中消耗的電功率
P電=I2R=[

2BL(v1-v2)

R

]2R=(

f

2BL

)2R=

f2R

4B2L2

據能量守恒，磁場提供的功率P=P_電+P_f=

f2R

4B2L2

+fv1-

f2R

4B2L2

=fv₁
（4）因為線框在運動過程中受到安培力和阻力作用，合力產生加速度，根據牛頓第二定律有：
F-f=ma，即

4B2L2(v1-v2)

R

-f=ma        ①
線框做勻加速直線運動，加速度a恒定，故有（v₁-v₂）為一定值，即線框的加速度與磁場的加速度相等，
即v₁=at，代入①式得：

4B2L2(at-vt)

R

-f=ma
解得：a=

4B2L2vt+fR

4B2L2t-mR

答：（1）金屬框所達到的恒定速度v₂=v1-

fR

4B2L2

（2）金屬框以恒定速度運動時，單位時間內克服阻力所做的功為fv1-

f2R

4B2L2

（3）當金屬框達到恒定速度后，為了維持它的運動，磁場必須提供的功率P=fv₁
（4）求金屬框做勻加速直線運動時的加速度大小a=

4B2L2vt+fR

4B2L2t-mR

．

點評：由于磁場運動使得穿過線框的磁通量發生變化，線框中產生感應電流，感應電流在磁場中又受到安培力從而使線框開始沿磁場運動方向做加速運動，需要注意的是使電路產生感應電動勢的速度v₂，不是線框的速度而是線框相對于磁場運動的速度即v₁-v₂，這是解決本題的關鍵所在；另當線框我加速運動時，能通過運動分析確定磁場的加速度必須和線框的加速度相同時，線框才能做勻加速運動．