Question

如圖所示，光滑水平面上有一靜止小車B，左端固定一砂箱，砂箱的右端連接一水平輕彈簧，小車與砂箱的總質量為M₁=1.99kg．車上靜置一物體A，其質量為M₂=2.00kg．此時彈簧呈自然長度，物體A的左端的車面是光滑的，而物體A右端的車面與物體間的動摩擦因數為μ=0.2．現有一質量為m=0.01kg的子彈以水平速度v₀=400m/s打入砂箱且靜止在砂箱中，求：
（1）小車在前進過程中，彈簧彈性勢能的最大值．
（2）為使物體A不從小車上滑下，車面的粗糙部分至少多長？（g取10m/s²）

Answer 1

分析：（1）子彈射入砂箱后，子彈、砂箱和小車獲得相同的速度，根據動量守恒可求得共同速度．之后，砂箱和小車向右運動，壓縮彈簧，彈簧的彈性勢能增大，當小車與A的速度相同時，壓縮量最大，彈性勢能最大，根據動量守恒求出此時系統的共同速度，再根據能量守恒求解彈簧彈性勢能的最大值．
（2）A被壓縮的彈簧向右推動直到脫離彈簧后，又通過摩擦力與小車作用再次達到共同速度，對小車與A組成的系統，根據動量守恒定律求出系統的共同速度，再對A與彈簧組成的系統，根據能量守恒求解車面的粗糙部分最小的長度．

解答：解：（1）子彈射入砂箱后，子彈、砂箱和小車獲得相同的速度，設為v₁．以子彈、砂箱和小車組成的系統為研究對象，根據動量守恒定律得
  mv₀=（M₁+m）v₁
之后，小車與A通過彈簧作用又達到共同速度，設為v₂．對子彈、砂箱和小車及物體、彈簧整個系統，根據動量守恒得
  （M₁+m）v₁=（M₁+M₂+m）v₂，
根據能量守恒得：
  E_P=

1

2

(M1+m)

v

2 1

-

1

2

(M1+M2+m)

v

2 2

聯立以上三式，解得 E_P=2J．
（2）A被壓縮的彈簧向右推動直到脫離彈簧后，又通過摩擦力與小車作用再次達到共同速度，設為v3．對小車與A組成的系統，根據動量守恒定律得 
  （M₁+M₂+m）v₂=（M₁+M₂+m）v₃，則得v₂=v₃，
再對物體A和彈簧組成的系統，根據功能關系，有
  μM₂gs=E_P
解得，s=0.5m
答：
（1）小車在前進過程中，彈簧彈性勢能的最大值是2J．
（2）為使物體A不從小車上滑下，車面的粗糙部分至少是0.5m．

點評：本題是系統的動量守恒和能量守恒問題，關鍵要分析過程，正確選擇研究對象，再根據兩大守恒求解．