Question

【題目】如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi).小球A、B質(zhì)量分別為m、βm(β為待定系數(shù)).A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道下滑,與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相撞,碰撞后A、B球能達(dá)到的最大高度均為R,碰撞中無機(jī)械能損失.重力加速，碰撞中無機(jī)械能損失．重力加速度為g．試求：

（1）待定系數(shù)β；

（2）第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度和B球?qū)�軌道的壓力�?/span>

（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度．

Answer 1

【答案】（1）待定系數(shù)β是3；（2）第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度為 ，方向向左和，方向向右；B球?qū)�軌道的壓力�?.5mg，方向豎直向下；（3）小球A、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度分別是 和0，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞鍘結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞鍘結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；

【解析】

試題分析: （1）A球從靜止開始下滑到碰撞后A、B球達(dá)到的最大高度的過程，由機(jī)械能守恒定律得

，解得：β=3

（2）設(shè)A、B碰撞后的速度分別為v1、v2，則

設(shè)向右方向正，向左為負(fù)，解得： ，方向向左； ，方向向右．

設(shè)軌道對(duì)B球的支持力為FN，B球?qū)�軌道的壓力為FN′，方向豎直向下為正

則由牛頓第二定律得，解得，F(xiàn)N=4.5mg

由牛頓第三定律得，F(xiàn)N′=-FN=-4.5mg，方向豎直向下．

（3）設(shè)A、B兩球第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度分別為V1、V2，

由機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒得

-mv1-βmv2=mV1+βmV2

解得， ，V2=0．（另一組解：V1=-v1，V2=-v2，不合題意，舍去）

由此可得

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞鍘結(jié)束時(shí)的速度分別與其第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞鍘結(jié)束時(shí)的速度分別與其第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同；