Question

如圖甲所示，水平放置的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現在A、B板上加上如圖乙所示的方波形電壓，電壓的正向值為U₀，反向電壓值為

U0

2

，且每隔

T

2

變向1次．現將質量為m的帶正電，且電荷量為q的粒子束從AB的中點O以平行于金屬板的方向OO′射入，設粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時間均為T．不計重力的影響，試問：
（1）定性分析在t=0時刻從O點進入的粒子，在垂直于金屬板的方向上的運動情況．
（2）在距靶MN的中心O′點多遠的范圍內有粒子擊中？
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數值應滿足什么條件？（寫出U₀、m、d、q、T的關系式即可）

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下先向下勻加速，再向下減速運動．
（2）當粒子在0，T，2T，…nT時刻進入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠點，粒子在豎直方向先向下做勻加速運動，后做勻減速運動．根據牛頓第二定律求出加速度，由位移公式分別求出前

T

2

時間內和后

T

2

時間內，粒子在豎直方向的位移，再粒子打在距O′點正下方的最大位移．當粒子在

T

2

、

3

2

T，…（2n+1）

T

2

時刻進入電場時，將打在O′點上方最遠點．粒子在豎直方向先向上做勻加速運動，后做勻減速運動．同理求出粒子打在距O′點正上方的最大位移．
（3）要使粒子能全部打在靶上，粒子在豎直方向距O′點的最大位移小于

d

2

．代入（2）問的結論，求解電壓U₀的數值應滿足的條件．

解答：解：（1）在t=0時刻從O點進入的粒子，所受的電場力先向下后向上，則粒子先向下勻加速運動，再向下勻減速運動．
（2）當粒子在0，T，2T，…nT時刻進入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠點，離O′最遠距離為：
    y_max=

1

2

?

qU0

md

?（

T

2

）²+

1

2

（

qU0

md

?

T

2

+

qU0

2md

?

T

2

）?

T

2

=

5qU0T2

16md

．
當粒子在

T

2

、

3

2

T，…（2n+1）

T

2

時刻進入電場時，將打在O′點上方最遠點．
   y_min=

1

2

?

qU0

2md

?（

T

2

）²=

qU0T2

16md

．
所以在距靶MN的中心O′點

5qU0T2

16md

到

qU0T2

16md

有粒子擊中．
（3）要使粒子能全部打在靶上，必須滿足

5qU0T2

16md

＜

d

2

，
解得：U₀＜

8md2

5qT2

．
答：
（1）在t=0時刻從O點進入的粒子，先向下勻加速運動，再向下勻減速運動．
（2）在距靶MN的中心O′點

5qU0T2

16md

到

qU0T2

16md

有粒子擊中．
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數值應滿足U₀＜

8md2

5qT2

．

點評：本題是粒子在周期性變化的電場中運動，分析帶電粒子的運動情況是關鍵．結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．