Question

（2013?龍江縣三模）如圖，板長為L間距為d的平行金屬板水平放置，兩板間所加電壓大小為U，足夠大光屏PQ與板的右端相距為a，且與板垂直．一帶正電的粒子以初速度v₀沿兩板間的中心線射入，射出電場時粒子速度的偏轉角為37°．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不計粒子的重力．

（1）求粒子的比荷q/m；
（2）若在兩板右側MN、光屏PQ間加如圖所示的勻強磁場，要使粒子不打在光屏上，求磁場的磁感應強度大小B的取值范圍；
（3）若在兩板右側MN、光屏PQ間僅加電場強度大小為E₀、方向垂直紙面向外的勻強電場．設初速度方向所在的直線與光屏交點為O點，取O點為坐標原點，水平向右為x正方向，垂直紙面向外為z軸的正方向，建立如圖所示的坐標系，求粒子打在光屏上的坐標（x，y，z）．

Answer 1

分析：（1）粒子在平行板中運動時，受電場力作用做類平拋運動，根據運動的合成與分解，由射出電場時的速度方向可求出粒子的比荷；
（2）粒子進入磁場后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，根據半徑公式求出半徑與磁感應強度的關系，根據幾何關系求出要使粒子不打在光屏上粒子做圓周運動的最大半徑，從而求出磁場的最大磁感應強度；
（3）如果PQ空間僅加電場，根據運動的合成與分解進行處理，粒子在原來的x、y軸方向由于不受力，粒子將保持原有的勻速直線運動狀態，在z軸方向由于受到電場力作用，粒子做初速度為0的勻加速直線運動，從而根據題意求出粒子打在屏上時的位置坐標．

解答：解：（1）設粒子射出電場時速度v的水平分量為v_x、豎直分量為v_y，
由于粒子在電場中做類平拋運動，故在水平方向分速度：
v_x=v₀，
水平方向的位移：
L=v_xt
所以粒子在電場中運動的時間t=

L

vx

=

L

v0

在y軸方向粒子做初速度為0的勻加速直線運動，加速度的大小為：
a=

F

m

=

qE

m

=

q U d

m

=

qU

md

所以vy=at=

qU

md

×

L

v0

=

qUL

mdv0

又如圖：


 有：tan370=

vy

v0

=

qUL

mdv0

由此可得：粒子的比荷

q

m

=

3d v 2 0

4UL

；
（2）設磁場的磁感應強度為B時粒子不能打在光屏上，如圖：

由幾何知識有  Rsin37°+R≤a
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供和心力有：
 Bqv=

mv2

R

可得：R=

mv

qB

根據半徑關系有：

mv

qB

(sin37°+1)≤a
即：B≥

8mv

5qa

由（1）問可得，v=

5

4

v0，

m

q

=

4UL

3d v 2 0

所以可得：B≥

8UL

3adv0

；   
（3）粒子從兩板間以速度v射出后做勻變速曲線運動，沿x、y軸方向均做勻速直線運動，沿z軸方向做初速度為零的勻加速直線運動．由題意知：
坐標 x=0

如圖速的反向延長線交中線于中點，故由幾何關系有：
y=(

1

2

+a)tan370=

3(L+2a)

8

粒子射出平行板后在電場中運動的時間 t=

a

v0

，
在z軸方向做初速度為0的勻加速直線運動，即在z軸方向的坐標：
z=

1

2

×

qE0

m

×t2=

3a2dE0

8UL

則粒子打在光屏上的坐標為(0，

3(L+2a)

8

，

3a2dE0

8UL

)；
答：（1）粒子的比荷

q

m

=

3d v 2 0

4UL

；
（2）若在兩板右側MN、光屏PQ間加如圖所示的勻強磁場，要使粒子不打在光屏上，磁場的磁感應強度大小B的取值范圍為B≥

8UL

3adv0

；
（3）若在兩板右側MN、光屏PQ間僅加電場強度大小為E₀、方向垂直紙面向外的勻強電場．設初速度方向所在的直線與光屏交點為O點，取O點為坐標原點，水平向右為x正方向，垂直紙面向外為z軸的正方向，建立如圖所示的坐標系，粒子打在光屏上的坐標為(0，

3(L+2a)

8

，

3a2dE0

8UL

)．

點評：粒子在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供圓周運動的向心力，解決此類問題的關鍵是作出臨界時粒子的運動軌跡，再根據幾何關系求出粒子運動半徑的范圍，從而求出末知量的取值范圍．關于在電場中粒子偏轉問題主要從運動的合成與分解入手求解．