Question

當物體從高空下落時，所受阻力會隨物體的速度增大而增大，因此經過下落一段距離后將勻速下落，這個速度稱為此物體下落的收尾速度．研究發現，在相同環境條件下，球形物體的收尾速度僅與球的半徑和質量有關．下表是某次研究的實驗數據

小球編號	A	B	C	D	E
小球的半徑（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2	2.5
小球的質量（×10-6kg）	2	5	45	40	100
小球的收尾速度（m/s）	16	40	40	20	32

（1）根據表中的數據，求出B球與C球在達到終極速度時所受阻力之比．
（2）根據表中的數據，歸納出球型物體所受阻力f與球的速度大小及球的半徑的關系（寫出有關表達式、并求出比例系數）．
（3）現將C號和D號小球用輕質細線連接，若它們在下落時所受阻力與單獨下落時的規律相同．讓它們同時從足夠高的同一高度下落，試求出它們的收尾速度；并判斷它們落地的順序（不需要寫出判斷理由）．

Answer 1

分析：（1）小球達到收尾速度時，小球做勻速直線運動，阻力與重力二力平衡．由平衡條件得即可求出B球與C球在達到終極速度時所受阻力之比．
（2）由小球A、B、C、E的實驗數據，歸納出小球收尾速度和小球質量、小球半徑的定量關系：v=

2m

r2

．
（3）將C號和D號小球用細線連接后，求出它們的收尾速度，判斷下落的先后順序．

解答：解：（1）球在達到終極速度時為平衡狀態，有
        f=mg                                           ①
則　　　f_B：f_C=m_B：m_C                                  ②
代入數據得　　　　f_B：f_C=1：9                          ③
（2）由表中A、B球的有關數據可得，阻力與速度成正比；即f∝v    ④
由表中B、C球有關數據可得，阻力與球的半徑的平方成正比，即f∝r² ⑤
得　　　　　　　　　　f=kvr² ⑥
將E組數據代入解得   k=4.9Ns/m³                         ⑦
（3）將C號和D號小球用細線連接后，其收尾速度應滿足
   m_Cg+m_Dg=f_C+f_D                                  ⑧
即　　　　m_Cg+m_Dg=kv（r_C²+r_D²）                               ⑨
代入數據得　　v=27.2m/s　                                      ⑩
比較C號和D號小球的質量和半徑，可判斷C球先落地．
答：（1）B球與C球在達到終極速度時所受阻力之比為1：9．
（2）球型物體所受阻力f與球的速度大小及球的半徑的關系k=4.9Ns/m³．
（3）將C號和D號小球用輕質細線連接，它們的收尾速度為27.2m/s，C球先落地．

點評：從表格數據歸納出收尾速度、質量、半徑的定量關系是本題的關鍵，也是比較困難的．