Question

（16分）A、B是在真空中水平正對的兩塊金屬板，板長L＝40cm，板間距d＝24cm，在B板左側邊緣有一粒子源，能連續均勻發射帶負電的粒子，粒子緊貼B板水平向右射入，如圖甲所示，帶電粒子的比荷為＝1.0×10⁸C/kg，初速度v₀＝2×10⁵m/s（粒子重力不計），在A、B兩板間加上如圖乙所示的電壓，電壓的周期T＝2.0×10^－6s，t＝0時刻A板電勢高于B板電勢，兩板間電場可視為勻強電場，電勢差U₀＝360V，A、B板右側相距s＝2cm處有一邊界MN，在邊界右側存在一垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B＝T，磁場中放置一“＞”型熒光板，位置如圖所示，板與水平方向夾角θ＝37°，不考慮粒子之間相互作用及粒子二次進入磁場的可能，求：
 
⑴帶電粒子在AB間偏轉的最大側向位移y_max；
⑵帶電粒子從電場中射出到MN邊界上的寬度Δy；
⑶經過足夠長時間后，射到熒光板上的粒子數占進入磁場粒子總數的百分比k。

Answer 1

⑴y_max＝22.5cm；⑵Δy＝15cm；⑶k＝31%

試題分析：⑴設帶電粒子在兩金屬板間運動的時間為t₁，則L＝v₀t₁
解得：t₁＝
設帶電粒子在兩金屬板間運動的加速度為a，根據牛頓第二定律有：＝ma
由題意可知，在t＝kT（k＝0，1，2，…）時刻進入電場的粒子其側向位移最大
其最大側向位移為：y_max＝＋
聯立以上各式并代入數據解得：y_max＝22.5cm
⑵所有帶電粒子在電場中加速時間均相同，設其出電場時豎直方向的速度大小為v_y，則：v_y＝＝1.5×10⁵m/s
粒子出電場時速度大小為：v＝＝2.5×10⁵m/s
設帶電粒子出電場時速度與水平方向的夾角為α，tanα＝＝
故所有粒子出電場的速度方向均相同，且出電場后在進入磁場之前做勻速直線運動，所以在邊界MN上的寬度與粒子出電場的寬度相等
由題意可知，當帶電粒子在t＝kT＋（k＝0，1，2，…）時刻進入電場的粒子側向位移最小，其最小側向位移為：y_min＝
代入數據解得：y_min＝7.5cm
所以Δy＝y_max－y_min＝15cm
⑶帶電粒子出電場后做勻速直線運動，設其豎直方向上的位移大小為y₁，則y₁＝＝1.5cm
分別畫出最大側向位移與最小側向位移兩種情況的軌跡圖如下左圖所示

由幾何關系得P₂P₃＝9cm
帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑設為R，則qvB＝，解得：R＝＝4cm
畫出兩種典型的軌跡圖如上由圖所示，其中P₁P₄、P₅P₂之間的粒子會打在屏上
有幾何關系得：P₁P₄＝3.6cm，P₅P₂＝1cm
因為是均勻分布的，所以k＝×100%＝31%