Question

如圖14所示，一質量不計的輕質彈簧的上端與盒子A連接在一起，盒子A放在傾角為θ=30⁰的光滑固定斜面上,下端固定在斜面上.盒子內裝一個光滑小球，盒子內腔為正方體，一直徑略小于此正方形邊長的金屬圓球B恰好能放在盒內，已知彈簧勁度系數為k=100N/m，盒子A和金屬圓球B質量均為1kg.，將A沿斜面向上提起，使彈簧從自然長度伸長10cm，從靜止釋放盒子A，A和B一起在斜面上做簡諧振動，g取10m/s²，求：
（1）盒子A的振幅.
（2）金屬圓球B的最大速度.
（3）盒子運動到最低點和最高點時，盒子A對金屬圓球B的作用力大小

Answer 1

(1) 20cm（2）（3）5N

解：(1) 振子在平衡位置時，所受合力為零，
設此時彈簧被壓縮Δx
 ……1′    
／=10cm……1′
釋 放 時振子處在最大位移處，故振幅A為： A=10cm+10cm=20cm……2′
(2)由于開始時彈簧的伸長量恰等于振子在平衡位置時彈簧的壓縮量，
故彈簧勢能相等，設振子的最大速率為v，
從開始到平衡位置，根據機械能守恒定律：
  ……2′  
……2′
(3)在最低點，振子受到的重力分力和彈力方向相反，根據牛頓第二定律:
……1′
A對B的作用力方向向上，其大小為：==15N……2′
在最高點振子受到的重力分力和彈力方向相同，根據牛頓第二定律：
……1′   (或由對稱性可得)
A對B的作用力方向向下，其大小為：==5N……2′
本題考查簡諧運動，要求振子的最大振幅，即釋放振子的位置就是最大振幅位置，關鍵是求出釋放位置距離平衡位置的距離，由于在平衡位置回復力等于零即重力的下滑力等于彈簧的彈力，列等式可求出平衡位置時彈簧的壓縮程度，即可求出振幅，整個過程中，重力和彈簧彈力做功，所以機械能守恒，要求最大速度，即在平衡位置時的速度，由于開始時彈簧的伸長量恰等于振子在平衡位置時彈簧的壓縮量，故彈簧勢能相等，可根據機械能守恒，列出等式求解，在最低點，振子受到的重力分力和彈力方向相反，在最高點振子受到的重力分力和彈力方向相同。根據牛頓第二定律可解。