Question

如圖所示，在距水平地面高h₁＝1.2m的光滑水平臺面上，一個質量m＝1kg的小物塊壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，儲存的彈性勢能E_p＝2J�，F打開鎖扣K，物塊與彈簧分離后將以一定的水平速度向右滑離平臺，并恰好從B點沿切線方向進入光滑豎直的圓弧軌道BC。已知B點距水平地面的高h₂＝0.6m，圓弧軌道BC的圓心O，C點的切線水平，并與水平地面上長為L＝2.8m的粗糙直軌道CD平滑連接，小物塊沿軌道BCD運動并與右邊的豎直墻壁會發生碰撞，重力加速度g＝10m/s²，空氣阻力忽略不計。試求：

（1）小物塊運動到B的瞬時速度v_B大小及與水平方向夾角
（2）小物塊在圓弧軌道BC上滑到C時對軌道壓力N_c大小
（3）若小物塊與墻壁碰撞后速度反向、大小變為碰前的一半，且只會發生一次碰撞，那么小物塊與軌道CD之間的動摩擦因數μ應該滿足怎樣的條件.

Answer 1

（1）4m/s，60°（2）33.3N（3）

試題分析：⑴解法一:
小物塊由A運動到B的過程中做平拋運動，機械能守恒
    （1分）
            （2分）
根據平拋運動規律有：     （2分）
解法二:
小物塊由A運動到B的過程中做平拋運動，機械能守恒
                        （1分）
小物塊由A運動到B的過程中做平拋運動，在豎直方向上根據自由落體運動規律可知，
小物塊由A運動到B的時間為：
t＝＝s≈0.346s                    （1分）
根據平拋運動規律有：
tan＝， 解得：=60°         （1分）
                        （2分）
⑵根據圖中幾何關系可知，
h₂＝R（1－cos∠BOC），解得：R＝1.2m           （1分）
根據能的轉化與守恒可知， 
                （2分）
對小球在圓弧軌道C點應用牛頓運動定律
           （2分）
⑶依據題意知，
①μ的最大值對應的是物塊撞墻前瞬間的速度趨于零，根據能量關系有：
mgh₁＋E_p＞μmgL  代入數據解得：μ＜（2分）
②對于μ的最小值求解，首先應判斷物塊第一次碰墻后反彈，能否沿圓軌道滑離B點，設物塊碰前在D處的速度為v₂，由能量關系有：mgh₁＋E_p＝μmgL＋ mv₂²
第一次碰墻后返回至C處的動能為：E_kC＝ mv₂²－μmgL 可知即使μ＝0，有：
 mv₂²＝14J    mv₂²＝3.5J＜mgh₂＝6J，小物塊不可能返滑至B點     （2分）
故μ的最小值對應著物塊撞后回到圓軌道最高某處，又下滑經C恰好至D點停止，因此有：
 mv₂²≤2μmgL， 聯立解得：μ≥（1分）
綜上可知滿足題目條件的動摩擦因數μ值：≤μ＜（1分）