Question

如圖所示，一平板小車靜止在光滑水平面上，質量均為m的物體A、B分別以2v₀和v₀的初速度，沿同一直線同時同向水平滑上小車，剛開始滑上小車的瞬間，A位于小車的最左邊，B位于距小車左邊l處．設兩物體與小車間的動摩擦因數均為μ，小車的質量也為m，最終物體A、B都停在小車上．求：
（l）最終小車的速度大小是多少？方向怎樣？
（2）若要使物體A、B在小車上不相碰，剛開始時A、B間的距離l至少多長？

Answer 1

分析：（1）由動量守恒列出等式求解
（2）A、B同時滑上小車后，它們均做勻減速直線運動．當B減速到與小車的速度相同時，B與小車相對靜止，此后A繼續做勻減速直線運動，B與小車做勻加速直線運動，直至它們達到相同的速度，由運動學知識和動量守恒列出等式．當B與小車相對靜止，由能量守恒定律求出此后A在小車上相對小車移動的距離．

解答：解：（1）設小車最終的速度是v，由動量守恒可得：
m?2v₀+m?v₀=3 m?v   ①
由①式解得：v=v₀ 方向水平向右  ②
（2）A、B同時滑上小車后，它們均做勻減速直線運動．當B減速到與小車的速度相同時，B與小車相對靜止，此后A繼續做勻減速直線運動，B與小車做勻加速直線運動，直至它們達到相同的速度v₀，設剛開始時A、B間的距離l．
由圖可知：B與小車相對靜止時的共同速度是v_B1，此時A的速度是v_A1，由運動學知識和動量守恒可得：
m?2v₀+m?v₀=2 m?v_B1+m?v_A1   ③
在B停止運動前，A、B所受的滑動摩擦力f_A=f_B，它們的加速度a_A1=a_B1，此時小車所受的力：F=-2f_A  ④
小車的加速度：a=-2 a_A1=-2 a_B1  ⑤
由圖可知：

vB1

t1

=-2

vB1-v0

t1

⑥

vB1

t1

=2μg⑦
由⑥⑦式解得：vB1=

2

3

v0⑧
t₁=

v0

3μg

⑨
由圖可知：

vB1-v0

t1

=

vA1-2v0

t1

⑩
由⑧⑨式解得：vA1=

5

3

v0（11）
當B與小車相對靜止，此后A在小車上相對小車移動的距離是l_x，由能量守恒定律可知：

1

2

mvA_2+

1

2

2m?vB_2-

1

2

3mv2=μmgl_x  （12）
由以上式子解得：l_x=

v02

3μg

（13）
在t₁前，A、B移動的位移分別是s_A1、s_B1，由圖可知：
s=s_A1-s_B1=（2v₀-v₀）?t₁  （14）
由⑨（11）（14）式解得：s=

v02

3μg

（15）
所以：l=s+l_x  （16）
由上式解得：l=

2v02

3μg

（17）
答：（l）最終小車的速度大小是v₀ 方向水平向右
（2）若要使物體A、B在小車上不相碰，剛開始時A、B間的距離l至少

2v02

3μg

點評：解決該題關鍵要對研究對象受力分析，根據受力情況分析其運動情況，運用牛頓第二定律和運動學公式以及幾何關系求解．