Question

如圖所示，在光滑絕緣水平面上有直角坐標系xoy，將半徑為R=0.4m，內徑很小、內壁光滑、管壁極薄的圓弧形絕緣管AB水平固定在第二象限內，它的A端和圓心O′都在y軸上，B端在x軸上，O′B與y軸負方向夾角θ=60°．在坐標系的第一、四象限不同區域內存在著四個垂直于水平面的勻強磁場，a、b、c為磁場的理想分界線，它們的直線方程分別為a：y=0.2；b：y=-0.1；c：y=-0.4；在a、b所圍的區域Ⅰ和b、c所圍的區域Ⅱ內的磁感應強度分別為B₁、B₂，第一、四象限其它區域內磁感應強度均為B₀．當一質量m=1.2×10^-5kg、電荷量q=1.0×10^-6C，直徑略小于絕緣管內徑的帶正電小球，自絕緣管A端以v=2.0×10^-2 m/s的速度垂直y軸射入管中，在以后的運動過程中，小球能垂直通過c、a，并又能以垂直于y軸的速度進入絕緣管而做周期性運動．求：
（1）B₀的大小和方向；
（2）B₁、B₂的大小和方向；．
（3）在運動的一個周期內，小球在經過第一、四    象限的過程中，在區域Ⅰ、Ⅱ內運動的時間與在區域Ⅰ、Ⅱ外運動的時間之比．

Answer 1

分析：（1）粒子在第一象限內做圓周運動，則由牛頓第二定律可求得磁感應強度，由左手定則可知磁場的方向；
（2）由題意可知，要使粒子能垂直ca且能周期性運動，則區域IⅠ、Ⅱ內小球運動的半徑應相等，區域Ⅰ、Ⅱ的磁感應強度應等大反向，由幾何關系可得出粒子的半徑，由牛頓第二定律可求得磁感應強度；
（3）粒子在運動中速度大小不變，則由s=vt可求得各段中所需要的時間，即可求出比值．

解答：解：（1）小球在第一象限過a做半徑為R的勻速圓周運動
由牛頓第二定律有：qB0v=m

v2

R

解得：B0=

mv

qR

①
代入數據得：B₀=0.6T         
由左手定則知B₀方向垂直水平面向下．
（2）要使小球不停的做周期性運動，則區域Ⅰ、Ⅱ內小球運動的半徑應相等，區域Ⅰ、Ⅱ的磁感應強度應等大反向，B₂的方向為垂直水平面向下，B₁的方向為垂直水平面向上                   
小球做周期性運動的徑跡如圖甲．
設在區域Ⅱ、Ⅰ內小球的圓心為O₁、O₂，小球圓周運動的半徑為r，偏轉角為φ，如圖乙所示．
由幾何知識知：2rsinφ=O^′D②
R+r-DG=2rcosφ-r③
DG=(1+

3

2

)R④
解②③④得r=

3

2

R⑤
φ=

π

3

r=

mv

qB1

⑥
解④⑤得   B1=0.4

3

T≈0.693T
則有：B2=B1=0.4

3

T≈0.693T
（3）由v=

s

t

知：
小球在第4象限過c以前做勻速圓周運動時間為t1=

5πR

6v

⑦
小球在區域Ⅰ、區域Ⅱ做勻速圓周運動時間共為t2=

2πr

3v

⑧
小球在第1象限區域Ⅰ以上做勻速圓周運動時間為  t3=

πR

2v

⑨
設在運動的一個周期內，小球在通過第一、四象限的過程中，在區域Ⅰ、Ⅱ內運動的時間與在區域Ⅰ、Ⅱ外時間之比為k則  k=

t2

t1+t3

⑩
解⑤⑥⑦⑧⑨⑩得k=

3

4

．

點評：本題為高考壓軸題，難度較大，要求學生能有較好的想象力，在解答此題時一定要注意通過畫圖去找出題目中所給出的條件所說明的情景，從而根據所學的半徑公式及周期公式進行求解．