Question

經過天文望遠鏡長期觀測，人們在宇宙中已經發現了許多雙星系統，通過對它們的研究，使我們對宇宙中物質的存在形式和分布情況有了較深刻的認識，雙星系統由兩個星體組成，其中每個星體的大小都遠小于兩星體之間的距離，一般雙星系統距離其他星體很遠，可以當作孤立系統來處理（即其它星體對雙星的作用可忽略不計）．現根據對某一雙星系統的光度學測量確定：該雙星系統中每個星體的質量都是m，兩者相距L，它們正圍繞兩者連線上的某一點做勻速圓周運動．
（1）試計算該雙星系統的運動周期T₁．
（2）若實際中觀測到的運動周期為T₂，T₂與T₁并不是相同的，目前有一種流行的理論認為，在宇宙中可能存在一種觀測不到的暗物質，它均勻地充滿整個宇宙，因此對雙星運動的周期有一定的影響．為了簡化模型，我們假定在如圖14所示的球體內（直徑看作L）均勻分布的這種暗物質才對雙星有引力的作用，不考慮其他暗物質對雙星的影響，已知這種暗物質的密度為ρ，求T₁：T₂．

Answer 1

分析：（1）雙星繞兩者連線的中點做圓周運動，由相互之間萬有引力提供向心力，根據牛頓第二定律求解運動周期．
（2）假定在以這兩個星體連線為直徑的球體內均勻分布著暗物質，由暗物質對雙星的作用與雙星之間的萬有引力的合力提供雙星的向心力，由此可以得到雙星運行的角速度，進而得到周期T₂，聯合第一問的結果可得周期之比．

解答：解：（1）兩星的角速度相同，故  F=mr1

ω

2 1

；F=mr2

ω

2 1

而  F=G

m?m

L2

可得 r₁=r₂①
兩星繞連線的中點轉動，則  

Gm2

L2

=m?

L

2

?

ω

2 1

解得  ω1=

2Gm L3

②
所以   T1=

2π

ω1

=

2π

2Gm L3

=2π

L3 2Gm

③
（2）由于暗物質的存在，雙星的向心力由兩個力的合力提供，則G

m2

L2

+G

mM

( 1 2 L)2

=m?

1

2

L?

ω

2

④
M為暗物質質量，M=ρV=ρ?

4

3

π(

L

2

)3⑤
解④和⑤式得：ω=

2Gm L3 + 4 3 Gρπ

                 ⑥
可求得：T2=

2π

ω

=

2π

2Gm L3 + 4 3 Gρπ

⑦
聯立③、⑦式解得

T1

T2

=

2π L3 2Gm

2π 2Gm L3 + 4 3 Gρπ

=

6m+4ρπL3 3M

答：
（1）該雙星系統的運動周期T₁．
（2）周期之比為T₁：T₂=

6m+4ρπL3 3M

點評：本題是雙星問題，要抓住雙星系統的條件：角速度與周期相同，再由萬有引力充當向心力進行列式計算即可．