Question

如圖甲所示，豎直擋板MN左側空間有方向豎直向上的勻強電場和垂直紙面向里的水平勻強磁場，電場和磁場的范圍足夠大，電場強度E=40N/C，磁感應強度B隨時間t變化的關系圖象如圖乙所示，選定磁場垂直紙面向里為正方向．t=0時刻，一質量m=8×10^-4kg、電荷量q=+2×10^-4C的微粒在O點具有豎直向下的速度v=0.12m/s，O′是擋板MN上一點，直線OO?與擋板MN垂直，取g=10m/s²．求：

（1）微粒再次經過直線OO′時與O點的距離；
（2）微粒在運動過程中離開直線OO′的最大高度；
（3）水平移動擋板，使微粒能垂直到擋板上，擋板與O點間的距離應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）微粒所受電場力和重力平衡，知微粒先在磁場中做勻速圓周運動，根據洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑和周期的大小，確定出在5πs內轉過半個圓周，從而求出微粒再次經過直線OO′時與O點的距離．
（2）微粒在5πs內轉過半個圓周，然后不受洛倫茲力，向上做勻速直線運動，經過5πs，磁場方向，粒子向右偏轉，繼續做勻速圓周運動，微粒上的最大高度等于向上做勻速直線運動的位移和圓周運動的半徑之和．
（3）討論微粒打在直線OO?上方和下方，結合圖象求出擋板與O點間的距離應滿足的條件．

解答：解：（1）由題意可知，微粒所受的重力
G=mg=8×10^-3N
電場力大小F=Eq=8×10^-3N
因此重力與電場力平衡                  
微粒先在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，則qvB=m

v2

R

解得  R=

mv

Bq

=0.6m          
由   T=

2πR

v

解得T=10πs                 
則微粒在5πs內轉過半個圓周，再次經直線OO?時與O點的距離
l=2R=1.2m            
（2）微粒運動半周后向上勻速運動，運動的時間為t=5πs，軌跡如圖所示，位移大小  s=vt=0.6πm=1.88m      
因此，微粒離開直線OO?的最大高度
h=s+R=2.48m                
（3）若微粒能垂直射到擋板上的某點P，P點在直線OO?下方時，由圖象可知，擋板MN與O點間的距離應滿足
L=（2.4n+0.6）m（n=0，1，2…）                                
若微粒能垂直射到擋板上的某點P，P點在直線OO?上方時，由圖象可知，擋板MN與O點間的距離應滿足 L=（2.4n+1.8）m （n=0，1，2…）  
答：（1）微粒再次經過直線OO′時與O點的距離為1.2m．
（2）微粒在運動過程中離開直線OO′的最大高度為2.48m．
（3）若微粒能垂直射到擋板上的某點P，P點在直線OO?下方時，擋板MN與O點間的距離應滿足L=（2.4n+0.6）m（n=0，1，2…） 
   若微粒能垂直射到擋板上的某點P，P點在直線OO?上方時，擋板MN與O點間的距離應滿足 L=（2.4n+1.8）m （n=0，1，2…）

點評：本題是力學與電學綜合題，根據勻速圓周運動的規律與幾何關系相結合，同時運用力學與電學的知識來解題，從而培養學生分析問題的方法，提升解題的能力．