Question

如圖所示，在光滑水平面的右端A處有一固定擋板P，擋板上固定一個輕質彈簧，在左測距擋板足夠遠處的B點豎直固定一半徑為R的半圓形光滑軌道，在半圓軌道的頂端C處安裝有壓力傳感器，用以記錄到達此處的物體對軌道頂端的壓力大小。將一質量為m的小球，放置在彈簧左側并用力向右壓彈簧，由靜止釋放，小球到達C點時，由壓力傳感器感知并通過計算機瞬間記錄小球對C點的壓力大小F，之后小球離開C點做平拋運動，落點與B點間的水平距離為x，改變最初彈簧的壓縮量，并仍由靜止釋放小球，從而得到不同的F與x的值，如圖所示為這一過程中F—x²圖線，由此請回答：(g=10m/s²)

（１）求小球的質量與圓弧軌道的半徑。

（２）由題意，并根據實際情況作出彈簧的彈性勢能與x²的關系圖線，并通過計算標出圖線與直線x²=0和x²=4的交點的E_P值。

Answer 1

【小題１】（1）m=0.2,kg     R=1m.

【小題2】（2）

解析:

【小題1】(1)       設小球到達C點時的速度大小為v,

           則此時，由牛頓第二定律得  

         小球離開C點后做平拋運動，在豎直方向上有

                                    在水平方向上有 

   以上各式聯立，得    由圖線可知，mg=2N  所以m=0.2,kg

                                                      所以R=1m.

【小題2】 （2） 設小球被彈簧彈開時獲得的速度大小為v₀，

則對彈簧彈開的過程，由能量守恒得；

                              

                      小球由B到C的過程，由功能關系得：

                      

 以上兩式與上問中的幾式聯立，可得

 

  以上各式聯立可得   將(1)中得出的m和R的數值代入該式得

                               

且當小球恰好可通過C點對軌道恰好無壓力，此時由牛頓第二定律得

      

            小球接下來做平拋運動的水平位移最小為      

     以上各式聯立可得  水平位移的最小值為 

             此狀態對應的最小彈性勢能為E_P=5J  

由以上計算，結合實際情況可畫出圖線如圖

。