Question

如圖所示，固定在地面上的光滑圓弧軌道AB、EF，他們的圓心角均為90°，半徑均為R，一質量為m，上表面長也為R的小車靜止在光滑水平面CD上，小車上表面與軌道AB、EF的末端B、E相切，一質量也為m的物體（大小不計）從軌道AB的A點由靜止下滑，由末端B滑上小車，小車在摩擦力的作用下向右運動，當小車右端與壁DE剛接觸時，物體m恰好滑動到小車右端相對于小車靜止，同時小車與DE相碰后立即停止運動但不粘連，物體則繼續滑上圓弧軌道EF，以后又滑下來沖上小車，求：
（1）物體從A點滑到B點時的速率和滑上EF前的瞬時速率；
（2）水平面CD的長度；
（3）當物體再從軌道EF滑下并滑上小車后，如果小車與壁BC相碰后速度也立即變為零，最后物體m停在小車上的Q點，則Q點距小車右端的距離．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出物體從A點滑到B點時的速率，根據動量守恒定律求出滑上EF前的瞬時速率．
（2）對物體運用動能定理、對系統運用能量守恒定律，聯立求出水平面CD的長度．
（3）根據動量守恒定律求出AB的共同速度，對系統運用能量守恒定律求出兩者速度相同時，之間的相對距離，小車停止后，物體做勻減速直線運動，再根據動能定理求出勻減速直線運動的位移，從而得出最終物體在小車上滑行的距離．

解答：解：（1）設物體從A滑落至B時速率為v₀，由機械能守恒可得mgR=

1

2

mv02
解得  v0=

2gR

物體與小車相互作用過程中，系統動量守恒，設共同速度為v₁，則mv₀=2mv₁
解得    v1=

2gR

2

（2）設物體與小車間的摩擦力為f，對物體，由動能定理得-fSCD=

1

2

mv12-

1

2

mv02
對系統，由能量守恒定律得fR=

1

2

mv02-

1

2

?2mv12
解得   SCD=

3

2

R
（3）設物體從EF滑下后與車達到相對靜止，共同速度為v₂，相對車滑行的距離為S₁，系統動量守恒，則mv₁=2mv₂
對系統，由能量守恒定律得fS1=

1

2

mv12-

1

2

?2mv22
車停后物體做勻減速運動，相對車滑行距離為S₂，對物體，由動能定理得-fS2=0-

1

2

mv22
聯立解得  S1=

R

4

，S2

=

R

8

則Q點距小車右端的距離為d=S1+S2=

3

8

R
答：（1）（1）物體從A點滑到B點時的速率為

2gR

，滑上EF前的瞬時速率為

2gR

2

；
（2）水平面CD的長度為

3R

2

；
（3）Q點距小車右端的距離為

3

8

R．

點評：本題綜合考查了動量守恒定律、能量守恒定律、機械能守恒定律、動能定理，綜合性較強，涉及的過程較多，關鍵是合理地選擇研究對象和研究過程，選擇合適的規律進行求解．