Question

中國探月工程二期的技術先導星“嫦娥二號”，2010年10月1日18時59分57秒在在西昌衛星發射中心由“長征三號丙”運載火箭發射升空．北京時間6日11時6分，在北京航天飛行控制中心的精確控制下，嫦娥二號衛星成功實施第一次近月制動，32分鐘后，衛星順利進入周期約12小時的橢圓環月軌道．“這極大地提高了同學們的愛國熱情及對月球的關注程度．以下是某同學就有關月球的知識設計的兩個問題，請你解答：
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，且把月球繞地球的運動近似看作是勻速圓周運動．試求出月球繞地球運動的軌道半徑．
（2）中國首個月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，大約用十年左右時間完成，而作為探月工程的第二步，目前落月工程的研發建設工作也已啟動，計劃在2013年前完成．若我國某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個小球，小球落回到月球表面的水平距離為s．已知月球半徑為R_月，萬有引力常量為G．試求出月球的質量M_月．

Answer 1

分析：（1）月球繞地球的運動時，由地球的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律列出月球的軌道半徑與地球質量等物理量的關系式；物體在地球表面上時，由重力等于地球的萬有引力求出地球的質量，再求出月球的軌道半徑．
（2）小球在在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個小球，求出月球表面的重力加速度，根據重力等于萬有引力求出月球的質量M_月．

解答：解：（1）研究月球繞地球的運動，根據萬有引力定律和向心力公式：
   

GMM月

r2

=

M月?4π2r

T2

  ①
物體在地球表面上時，由重力等于地球的萬有引力得：
   mg=

GM m

R2

         ②
由①②解得：r=

3	gR2T2 4π2

（2）設月球表面處的重力加速度為g_月，小球在在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個小球，
根據平拋運動得：
水平方向：水平距離s=v₀t  ③
豎直方向：h=

1

2

g_月t^{2 ④}
物體在月球表面上時，由重力等于月球的萬有引力得：
mg_月=

GM月m

R 2 月

        ⑤
由③④⑤得：M_月=

2 hv 2 0 R 2 月

Gs2

    
答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑是

3	gR2T2 4π2

．
（2）月球的質量是

2 hv 2 0 R 2 月

Gs2

．

點評：本題是衛星類型的問題，常常建立這樣的模型：環繞天體繞中心天體做勻速圓周運動，由中心天體的萬有引力提供向心力．