Question

（2009?東城區模擬）如圖所示為宇宙中一個恒星系的示意圖，其中A為該星系中的一顆行星，它繞中央恒星O運行的軌道近似為圓．天文學家觀測得到A行星運行的軌道半徑為r，周期為T．已知萬有引力常量G．
（1）求A行星做勻速圓周運動的向心加速度大小；
（2）求中央恒星O的質量；
（3）若中央恒星是半徑為R的均勻球體，要使在此恒星表面被平拋出的物體不再落回恒星表面，通過計算說明拋出物體的速度需要滿足什么條件．

Answer 1

分析：根據圓周運動的向心加速度的表達式求出向心加速度大小；
研究行星繞恒星做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力，列出等式求出中心體的質量．
平拋出的物體不再落回恒星表面，即物體會繞著恒星做勻速圓周運動．其中物體在靠近恒星表面，繞恒星做半徑為R的勻速圓周運動發射速度最小．

解答：解：（1）根據圓周運動的向心加速度的表達式得出：
A行星繞恒星做勻速圓周運動的加速度大小為：a=ω²r=

4π2r

T2

（2）A行星繞恒星O做勻速圓周運動，設A行星和恒星的質量分別為m和M，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
解得：M=

4π2r3

GT2

．
（3）當水平拋出物體的速度大小等于或大于物體在靠近恒星表面，繞恒星做勻速圓周運動速度大小時，物體將不再落回恒星表面．設物體在靠近恒星表面，繞恒星做半徑為R的勻速圓周運動的速度大小為υ，也就是我們所說的第一宇宙速度，根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：G

Mm

R2

=m

υ2

R

，v=

GM R

代入M解得：v=

4π2r3 RT2

=

2πr

T

r R

即在恒星表面水平拋出物體，物體不再落回恒星表面，拋出物體的速度v'需滿足的條件是：v′≥

2πr

T

r R

答：（1）A行星做勻速圓周運動的向心加速度大小為

4π2r

T2

；
（2）中央恒星O的質量是

4π2r3

GT2

；
（3）拋出物體的速度需要滿足條件是：v′≥

2πr

T

r R

．

點評：要清楚向心加速度大小的表達式．
平拋出的物體不再落回恒星表面，即物體會繞著恒星做勻速圓周運動．其中物體在靠近恒星表面，繞恒星做半徑為R的勻速圓周運動發射速度最小，也就是我們所說的第一宇宙速度．