Question

如圖所示，一絕緣輕繩繞過無摩擦的兩輕質小定滑輪O₁、O₂，一端與質量m=0.2kg的帶正電小環P連接，且小環套在絕緣的均勻光滑直桿上（環的直徑略大于桿的截面直徑），已知小環P帶電q=4×10^-5C，另一端加一恒定的力F=4N．已知直桿下端有一固定轉動軸O，上端靠在光滑豎直墻上的A處，其質量M=1kg，長度L=1m，桿與水平面的夾角為θ=53⁰，直桿上C點與定滑輪在同一高度，桿上CO=0.8m，滑輪O₁在桿中點的正上方，整個裝置在同一豎直平面內，處于豎直向下的大小E=5×10⁴N/C的勻強電場中．現將小環P從C點由靜止釋放，求：（取g=10m/s²）
（1）剛釋放小環時，豎直墻A處對桿的彈力大小；
（2）下滑過程中小環能達到的最大速度；
（3）若僅把電場方向反向，其他條件都不變，則環運動過程中電勢能變化的最大值．

Answer 1

（1）設環受到重力為Gp，電場力為F，繩子拉力為 T，對環受力分析如圖，其中F=qE=4×10^-5C×5×10⁴N/C=2N．
由平衡條件得：T cos37°+N₁=（Gp+F） cos53°　　
代入數據得：N₁=0.8N  


則環對桿的壓力大小為N₁′=N₁=0.8N
設豎直墻A處對桿的彈力為N，對桿分析，由力矩平衡條件得：
    G?

L

2

cos53°=NLsin53°+N₁′

.

CO

代入數據得：N=2.95N
（2）設小環下滑時，繩與桿之間的夾角為α時，小環速度最大，此時小環沿桿方向的合外力為零（F+G）sin53°=Fsinα，得：α=37°，也即小環滑至O₁正下方時，小環速度最大，此時小環下滑s=0.3m．
根據動能定理得：（F+G）s?sin53°-F（s?sin53°-s?cos53°）=

1

2

m

v

2m

解得，v_m=2.68m/s


（3）當電場力反向，電場力正好與重力平衡，當小環下滑至繩拉力方向與桿垂直時，速度最大．
由對稱性得：小環下滑s₁=2scos53°×cos53°=2×0.3×0.6×0.6（m）=0.216（m），此時電勢能變化值最大，則電勢能變化的最大值為
△?=Fs₁?sin53°=2×0.216×0.8J=0.3456J
答：（1）剛釋放小環時，豎直墻A處對桿的彈力大小是2.95N；
（2）下滑過程中小環能達到的最大速度是2.68m/s；
（3）若僅把電場方向反向，其他條件都不變，則環運動過程中電勢能變化的最大值是0.3456J．