Question

如圖所示，一端封閉的兩條平行光滑長導軌相距L，距左端L處的右側一段彎成半徑為的四分之一圓弧，圓弧導軌的左、右兩段處于高度相差的水平面上。以弧形導軌的末端點O為坐標原點，水平向右為x軸正方向，建立Ox坐標軸。圓弧導軌所在區域無磁場；左段區域存在空間上均勻分布，但隨時間t均勻變化的磁場B（t），如圖2所示；右段區域存在磁感應強度大小不隨時間變化，只沿x方向均勻變化的磁場B（x），如圖3所示；磁場B（t）和B（x）的方向均豎直向上。在圓弧導軌最上端，放置一質量為m的金屬棒ab，與導軌左段形成閉合回路，金屬棒由靜止開始下滑時左段磁場B（t）開始變化，金屬棒與導軌始終接觸良好，經過時間t₀金屬棒恰好滑到圓弧導軌底端。已知金屬棒在回路中的電阻為R，導軌電阻不計，重力加速度為g。

（1）求金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產生的感應電動勢E；
（2）如果根據已知條件，金屬棒能離開右段磁場B（x）區域，離開時的速度為v，求金屬棒從開始滑動到離開右段磁場過程中產生的焦耳熱Q;
（3）如果根據已知條件，金屬棒滑行到x=x₁，位置時停下來，
a．求金屬棒在水平軌道上滑動過程中遁過導體棒的電荷量q；
b．通過計算，確定金屬棒在全部運動過程中感應電流最大時的位置。

Answer 1

（1）L²B₀/t₀（2）+ mgL/2-mv²（3）金屬棒在x=0處，感應電流最大

根據題中圖像、圖形信息，利用法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、機械能守恒電流、能量守恒定律、焦耳定律及其相關知識列方程解答。
解：（1）由圖2可知，△B/△t=B₀/t₀，
金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產生的感應電動勢
E=△Φ/△t=L²△B/△t= L²B₀/t₀.。①
（2）金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，回路中產生的焦耳熱Q₁=t₀=
金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，機械能守恒，mgL/2=mv₀²，②
設金屬棒在水平軌道上滑動過程中，產生的焦耳熱為Q₂。根據能量守恒定律，
Q₂=mv₀²-mv²= mgL/2-mv²。
所以金屬棒在全部運動過程中產生的焦耳熱Q= Q₁+ Q₂=+ mgL/2-mv²。
（3）a． 根據圖3，x=x₁(x₁< x₀)處磁場的磁感應強度B₁=。設金屬棒在水平軌道上滑行時間為△t。由于磁場B（x）沿x方向均勻變化，根據法拉第電磁感應定律，△t時間內產生的平均感應電動勢E=△Φ/△t==。
平均電流I=E/R，通過金屬棒的電荷量q=I△t，
聯立解得通過金屬棒的電荷量q= 。
b．金屬棒在圓弧軌道上滑動過程中，根據①式，I₁=E/R= L²B₀/Rt₀.。
金屬棒在水平軌道上滑動過程中，由于滑行速度和磁感應強度都在減小，所以，金屬棒剛進入磁場時感應電流最大。
根據②式，剛進入水平軌道時，金屬棒速度v₀=
所以，水平軌道上滑行過程中的最大感應電動勢E’=B₀L v₀=B₀L，
最大電流I₂=E’/R= B₀L/R.
若金屬棒自由下落高度L/2，由L/2=gt²/2，經歷時間t=，顯然t₀>t。
所以，I₁= L²B₀/Rt₀< L²B₀/Rt== B₀L/R.= I₂。
綜上所述，金屬棒剛進入水平軌道時，即金屬棒在x=0處，感應電流最大。