Question

如圖所示，水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，場(chǎng)區(qū)寬度為L(zhǎng)，緊挨著電場(chǎng)的是垂直紙面向外的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，其磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B和2B，三個(gè)場(chǎng)的豎直方向均足夠長(zhǎng)．一個(gè)質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，其重力不計(jì)，從電場(chǎng)的邊界MN上的a點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后進(jìn)人磁場(chǎng)，穿過(guò)中間磁場(chǎng)所用的時(shí)間t₀=

πm

6qB

，進(jìn)入右邊磁場(chǎng)后能按某一路徑再返回到電場(chǎng)的邊界MN上的某一點(diǎn)b，途中虛線為場(chǎng)區(qū)的分界面．
求：
（1）中間場(chǎng)區(qū)的寬度d；
（2）粒子從a點(diǎn)到b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t；
（3）當(dāng)粒子第n次返回電場(chǎng)的MN邊界時(shí)與出發(fā)點(diǎn)之間的距離S_n．

Answer 1

分析：（1）對(duì)電場(chǎng)中直線加速過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式，對(duì)第二場(chǎng)區(qū)運(yùn)用洛倫茲力提供向心力列式；
（2）先畫(huà)出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)對(duì)稱(chēng)性并結(jié)合周期公式列式計(jì)算；
（3）計(jì)算出一次偏轉(zhuǎn)的側(cè)移量，然后根據(jù)重復(fù)性得到n次的側(cè)移量之和．

解答：解：（1）粒子a點(diǎn)出發(fā)，在電場(chǎng)中加速和磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，回到MN上的b點(diǎn)，軌跡如圖所示．
粒子在電場(chǎng)中加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：qEL=

1

2

mv2，解得：v=

2qEl m

；
由tB=

1

12

T得：粒子在中間磁場(chǎng)通過(guò)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ=30°；
粒子在中間磁場(chǎng)通過(guò)的圓弧半徑為：r1=

mv

qB

，由幾何關(guān)系得：d=

1

2

r1=

1

B

mEL 2q

；
（2）粒子在右邊的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：其圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為β=120°
則t2B=

T′

3

=

πm

3Bq

，粒子在電場(chǎng)中加速時(shí)Eq?t_g=mv，解得：tg=

2mL qE

；
結(jié)合對(duì)稱(chēng)性：tab=2tg+2tB+t2B=

2mL Eq

+

2πm

3Bq

（3）由軌跡圖得：y=r1-

r 2 1 -d2

=

2- 3

2

r1
Sab=r1cos30°+2y=(2-

3

2

)r1，再由周期性：Sn=nSab=(2-

3

2

)

nmv

Bq

=

(4- 3 )n

B

ELm 2q

．
答：（1）中間場(chǎng)區(qū)的寬度d為

1

B

mEL 2q

；
（2）粒子從a點(diǎn)到b點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間t為

2mL qE

；
（3）當(dāng)粒子第n次返回電場(chǎng)的MN邊界時(shí)與出發(fā)點(diǎn)β之間的距離

(4- 3 )n

B

ELm 2q

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是將粒子的運(yùn)動(dòng)分為直線加速、偏轉(zhuǎn)一、偏轉(zhuǎn)二、偏轉(zhuǎn)三、直線減速過(guò)程，然后作出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)周期公式、半徑公式并結(jié)合動(dòng)能定理列式計(jì)算．