Question

如圖所示，內(nèi)壁光滑的半徑為R的圓形軌道，固定在豎直平面內(nèi)，質(zhì)量為m₁小球靜止在軌道最低點(diǎn)，另一質(zhì)量為m₂的小球（兩小球均可視為質(zhì)點(diǎn)）從內(nèi)壁上與圓心O等高的位置由靜止釋放，到最低點(diǎn)時(shí)與m₁發(fā)生彈性碰撞，求：
（1）小球m₂運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）碰撞后，欲使m₁能沿內(nèi)壁運(yùn)動到最高點(diǎn)，則m₂/m₁應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）小球m₂運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的過程中機(jī)械能守恒，代入公式即可求得速度；
（2）兩個(gè)小球碰撞的過程中動量守恒，機(jī)械能守恒，寫出相應(yīng)的公式，求得碰撞后的速度；碰撞后小球沿內(nèi)壁上升的過程，機(jī)械能守恒，在最高點(diǎn)時(shí)重力恰好提供向心力，聯(lián)立幾個(gè)公式，即可求得結(jié)果．

解答：解析：（1）設(shè)小球m₂運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的速度為v₀，由機(jī)械能守恒，得m2gR=

1

2

m2

v

2 0

①
解得v0=

2gR

②
（2）設(shè)彈性碰撞后，m₁、m₂兩球的速度分別為v₁、v₂，則m₂v₀=m₁v₁+m₂v₂ ③
  

1

2

m2

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

    ④
  由③④兩式解得v1=

2m2v0

m1+m2

     ⑤（另一解不合實(shí)際，舍去）
  設(shè)m₁運(yùn)動到軌道的最高點(diǎn)時(shí)速度為v，則有m1g=

m1v2

R

  ⑥
小球m₁由最低點(diǎn)運(yùn)動最高點(diǎn)的過程中機(jī)械能守恒，則

1

2

m1

v

2 1

-

1

2

m1v2=2m1gR⑦
由②⑤⑥⑦式解得

m2

m1

≥

5

2 2 - 5

≈3.78⑧
答：（1）小球m₂運(yùn)動到最低點(diǎn)時(shí)的速度為

2gR

；
（2）碰撞后，欲使m₁能沿內(nèi)壁運(yùn)動到最高點(diǎn)，則

m2

m1

應(yīng)滿足

m2

m1

≥3.78．

點(diǎn)評：本題解題的關(guān)鍵是對兩個(gè)小球運(yùn)動情況的分析，知道小球做什么運(yùn)動，并能結(jié)合機(jī)械能守恒、動量守恒等關(guān)系解題，難度比較大．