Question

如圖所示，在傾角為θ=30°的光滑斜面的底端有一個固定擋板D，小物體C靠在擋板D上，小物體B與C用輕質(zhì)彈簧拴接．當(dāng)彈簧處于自然長度時，B在O點；當(dāng)B靜止時，B在M點，OM=l．在P點還有一小物體A，使A從靜止開始下滑，A、B相碰后一起壓縮彈簧．A第一次脫離B后最高能上升到N點，ON=1.5l．B運動還會拉伸彈簧，使C物體剛好能脫離擋板D．A、B、C的質(zhì)量都是m，重力加速度為g．求
（1）彈簧的勁度系數(shù)；
（2）彈簧第一次恢復(fù)到原長時B速度的大小；
（3）M、P之間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意已經(jīng)知道B物體平衡時彈簧的形變量，對B進(jìn)行受力分析，由共點力平衡條件求出彈力，利用胡克定律得到彈簧的勁度系數(shù)；
（2）A與B分離的臨界條件即彈簧恢復(fù)原長的瞬間，利用機械能守恒求出B物體的速度；
（3）綜合分析A與B碰撞前、碰撞后的運動過程，找到他們遵守的物理定律即動量守恒、機械能守恒，列出方程求解．并且知道C剛剛脫離擋板的條件是彈簧的拉力與C物體沿斜面的分力相等．

解答：解：（1）B靜止時，受力如圖所示，

根據(jù)物體平衡條件得kl=mgsinθ
彈簧的勁度系數(shù)   k=

mg

2l

（2）當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長時A、B恰好分離．
設(shè)此時A、B速度的大小為v₃，對A物體，從A、B分離到A速度變?yōu)?的過程，
根據(jù)機械能守恒定律得

1

2

m

v

2 3

=mg△h
此過程中A物體上升的高度△h=1.5lsinθ
得                  v3=

3 2 gl

（3）設(shè)A與B相碰前速度的大小為v₁，A與B相碰后速度的大小為v₂，M、P之間距離為x．對A物體，從開始下滑到A、B相碰的過程，根據(jù)機械能守恒定律得  
 mgxsinθ=

1

2

m

v

2 1

A與B發(fā)生碰撞，根據(jù)動量守恒定律得  
 mv₁=（m+m）v₂   
設(shè)B靜止時彈簧的彈性勢能為E_P，從A、B開始壓縮彈簧到彈簧第一次恢復(fù)原長的過程，根據(jù)機械能守恒定律得

1

2

(m+m)

v

2 2

+EP=

1

2

(m+m)

v

2 3

+(m+m)glsinθ
B物體的速度變?yōu)?時，C物體恰好離開擋板D，此時彈簧的伸長量也為l，彈簧的彈性勢能也為E_P．
對B物體和彈簧，從A、B分離到B速度變?yōu)?的過程，由機械能守恒定律得

1

2

m

v

2 3

=mglsinθ+Ep
解得      
x=9l 
答：（1）彈簧的勁度系數(shù)為k=

mg

2l

    （2）彈簧第一次恢復(fù)到原長時B速度v3=

3 2 gl

   （3）M、P之間的距離x=9l

點評：本題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析物理過程，把復(fù)雜的物理過程分成幾個小過程并且找到每個過程遵守的物理規(guī)律，
列出相應(yīng)的物理方程解題．是一道全面考查動量守恒、機械能守恒的比較困難又容易出錯的好題．