Question

如圖所示存在范圍足夠大的磁場區，虛線OO′為磁場邊界，左側為豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B₁，右側為豎直向上的磁感應強度為B₂的勻強磁場區，B₁=B₂=B．有一質量為m且足夠長的U形金屬框架MNPQ平放在光滑的水平面上，框架跨過兩磁場區，磁場邊界OO′與框架的兩平行導軌MN、PQ垂直，兩導軌相距L，一質量也為m的金屬棒垂直放置在右側磁場區光滑的水平導軌上，并用一不可伸長的繩子拉住，繩子能承受的最大拉力是F₀，超過F₀繩子會自動斷裂，已知棒的電阻是R，導軌電阻不計，t=0時刻對U形金屬框架施加水平向左的拉力F讓其從靜止開始做加速度為a的勻加速直線運動．
（1）求在繩未斷前U形金屬框架做勻加速運動t時刻水平拉力F的大小；繩子斷開后瞬間棒的加速度．
（2）若在繩子斷開的時刻立即撤去拉力F，框架和導體棒將怎樣運動，求出它們的最終狀態的速度．
（3）在（2）的情景下，求出撤去拉力F后棒上產生的電熱和通過導體棒的電量．

Answer 1

分析：（1）根據法拉第電磁感應定律和牛頓第二定律求解．
（2）以后框架減速，棒向右加速，當兩者速度大小相等時回路磁通量不再變化，一起勻速運動．由于框架和棒都是受安培力作用，且質量相等，所以任意時刻加速度大小相等．
（3）去拉力F后系統動能減少等于回路消耗電能，根據能量守恒定律求解．

解答：解：（1）t=0時刻對U形金屬框架施加水平向左的拉力F讓其從靜止開始做加速度為a的勻加速直線運動．
對框架　v=at
感應電動勢E=BLv=BLat
安培力　F_安=BIL=

B2L2at

R

根據牛頓第二定律得
F-F_安=ma
F=F_安+ma=ma+

B2L2at

R

繩子斷開時刻繩子拉力　F₀=F_安
棒的加速度a=

F安

m

=

F0

m

（2）繩子斷裂時刻F₀=

B2L2at

R

　t=

F0R

B2L2a

框架速度v₀=at=

F0R

B2L2

以后框架減速，棒向右加速，當兩者速度大小相等時回路磁通量不再變化，一起勻速運動．由于框架和棒都是受安培力作用，且質量相等，所以任意時刻加速度大小相等，相等時間內速度變化的大小也相等，最終速度都是v，
v₀-v=v-0，
v=

v0

2

=

F0R

2B2L2

框架向左勻速，棒向右勻速．
（3）撤去拉力F后系統動能減少等于回路消耗電能，即棒上產生電熱
Q=

1

2

m

v

2 0

-(

1

2

mv2+

1

2

mv2)=

1

4

mv

2 0

=

m F 2 0 R2

4B4L4

對棒　F_安=BIL=ma
a=

BIL

m

△t時間速度變化△v=a△t=

BIL

m

△t=

BL

m

△q 
速度由零增加到v過程
v=

BL

m

q=

v2

2

=

F0R

2B2L2

q=

mF0R

2B3L3

答：（1）在繩未斷前U形金屬框架做勻加速運動t時刻水平拉力F的大小是ma+

B2L2at

R

，繩子斷開后瞬間棒的加速度是

F0

m

．
（2）若在繩子斷開的時刻立即撤去拉力F，框架和導體棒將怎樣運動，它們的最終狀態是框架向左勻速，棒向右勻速．
（3）在（2）的情景下，撤去拉力F后棒上產生的電熱是

m F 2 0 R2

4B4L4

，通過導體棒的電量是

mF0R

2B3L3

．

點評：本題考查了法拉第電磁感應定律、牛頓第二定律、能量守恒定律等多個知識點，要注意的是該題中框架NP和金屬棒所在的磁場方向相反，從而所受安培力方向相同．