Question

【題目】如圖所示，固定于同一水平面內的光滑、平行長直金屬導軌處于豎直向下的勻強磁場中，導軌左端接有定值電阻。粗細和材質均勻的金屬桿MN在與其垂直的水平恒力作用下，在導軌上勻速向右運動；金屬桿MN始終與導線框形成閉合電路，其長度恰好等于平行軌道的間距，導軌電阻不計。

（1）已知勻強磁場的磁感強度為B，金屬桿MN的長度為L，速度為v。

a．請通過法拉第電磁感應定律推導證明，金屬桿MN切割磁感線產生的電動勢。

b．請結合電源電動勢定義式推導證明，金屬桿MN切割磁感線產生的電動勢。

（2）已知定值電阻的阻值為R，金屬桿MN的電阻為r，水平恒力為F，某段時間內，金屬桿MN向右運動距離為x。

a．請結合能量守恒定律，求這段時間內金屬桿MN上產生的熱量Q；

b．經典物理學認為，在金屬導體中，定向移動的自由電子頻繁地與金屬離子發生碰撞，把定向移動的動能不斷傳遞給金屬離子，使金屬離子的熱振動加劇，因而導體的溫度升高。在考慮大量自由電子的統計結果時，電子與金屬離子的碰撞結果可視為導體對電子有連續的阻力。

展開你想象的翅膀，給出一個合理的自由電子的運動模型，并在此基礎上求這段時間內金屬桿MN上產生的熱量Q。

Answer 1

【答案】（1）a．見解析b．見解析

（2）a． b．

【解析】

（1）a、根據法拉第電磁感應定律求出感應電動勢；

b、應用洛倫茲力求出洛倫茲力，由功的計算公式求出功，然后由電動勢的定義式求出電動勢。

（2）a、應用能量守恒定律與串聯電路特點求出產生的熱量；

b、應用E=BLv，歐姆定律、洛倫茲力公式與功的計算公式求出產生的熱量。

（1）a．在t時間內，金屬桿MN的位移

閉合電路面積的變化量是

則穿過閉合電路的磁通量的變化量是

根據法拉第電磁感應定律有

b．金屬桿MN切割磁感線時，MN相當于電源，由右手定則可以判斷M為正極，N為負極。

因為金屬桿MN的運動，自由電子受到沿金屬桿方向洛的倫茲力（分力）的作用，充當非靜電力。設自由電子的電荷量為e，則有。

在自由電子由N定向移動到M的過程中，做的功，所以導線MN切割磁感線產生的電動勢

（2）a．設電阻R上產生的熱量為，根據能量守恒定律有

又因為

所以

b．設磁場的磁感強度為B，金屬桿MN的長度為L，則金屬桿MN切割磁感線產生的電動勢，所以金屬桿MN兩端的電勢差

金屬桿MN中的電場可視為勻強電場，其場強

自由電子在金屬桿MN中所受的電場力

因為金屬桿MN的運動，自由電子受到沿金屬桿方向的洛倫茲力（分力）

因為金屬桿中的電流不變，所以可假設自由電子以速度u相對導線做勻速直線運動。假設導體對每個電子的阻力都為f阻。在沿金屬桿MN的方向，根據牛頓第二定律有，即

所以

設MN中自由電荷的數量為N，這段時間為t，則自由電子克服f阻做的總功

因為自由電子以速度u相對導線做勻速直線運動，所以自由電子受到垂直金屬桿MN方向的洛倫茲力（分力），則有金屬桿MN所受的安培力

p

取金屬桿MN為研究對象，根據牛頓第二定律有

所以

由題意可知：